Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
y^i v-3 y^prime prime-8 y=sen t

Passo 1

Estamos buscando uma solução particular para a EDO linear de quarta ordem não-homogênea
com forçamento sin t. O método escolhido é o dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Como o termo não-homogêneo é sin t, suponho
yp(t)=Asin t + Bcos t com constantes A,B a determinar.

Passo 3

Calculo as derivadas necessárias:
yp'' = -Asin t - Bcos t
e
yp^(4) = Asin t + Bcos t
pois a aplicação de duas derivadas em ciclo em funções seno e cosseno retorna à forma original.

Passo 4

Substituo na equação
y^(4) - 3y'' - 8y = sin t.
O lado esquerdo fica
(A + 3A - 8A)sin t + (B + 3B - 8B)cos t = -4Asin t - 4Bcos t

Passo 5

Faço o balanceamento com o lado direito sin t + 0cos t:
-4A = 1 leva a A = -tfrac14,
-4B = 0 leva a B = 0.

Passo 6

Portanto, a solução particular obtida é
yp(t) = -tfrac14sin t.

Resposta

yp(t) = -tfrac14sin t

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