Calcule:
(1+raiz3 i)^i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1 + raiz3,i)^i, ou seja, elevar um número complexo a uma potência imaginária. Vamos usar a definição de exponenciação complexa via logaritmo: .

Passo 2

Primeiro calculamos o módulo e o argumento de z = 1 + raiz3,i. O módulo é
r = |z| = raiz1^2 + (raiz3)^2 = 2
e o argumento principal é
phi = arg(z) = arctanl(raiz31r) = pi3

Passo 3

O logaritmo principal de z é dado por

Passo 4

Finalmente, aplicamos a definição da potência. Chegamos a:

Resposta

e^{-\tfrac{\pi}{3}}\bigl(\cos(\ln 2)+i,\sin(\ln 2)\bigr)

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