Calcule o volume do conjunto
dado.
(g)
e
.
(g)
Passo 1
A gente quer o volume do conjunto onde 0≤z≤sen(y³) e √x≤y≤³√π. Isso é conteúdo de integrais triplas: podemos usar o teorema de Fubini pra transformar volume em integral iterada.
Como y aparece em todas as condições, escolhemos y de 0 até ³√π. Para cada y fixo, √x≤y implica x∈[0,y²]. E para cada (x,y), z varia de 0 até sen(y³).
Como y aparece em todas as condições, escolhemos y de 0 até ³√π. Para cada y fixo, √x≤y implica x∈[0,y²]. E para cada (x,y), z varia de 0 até sen(y³).
Passo 2
Montamos a integral tripla para o volume:
Passo 3
Primeiro integramos em z, que é simples porque o limite superior não depende de z:
Em seguida, integramos em x:
Passo 4
Agora o volume vira uma integral em y só:
Fazemos a substituição t=y^3, então dt=3y^2dy, ou y^2dy=dt/3, e quando y vai de 0 a ³√π, t vai de 0 a π.
Passo 5
A integral fica