Calcule o volume do conjunto A dado.
(g) A=(x, y, z) in R^3: 0 <= z <= sen y^3 e raizx <= y <= raiz[3]pi.

Passo 1

A gente quer o volume do conjunto onde 0≤z≤sen(y³) e √x≤y≤³√π. Isso é conteúdo de integrais triplas: podemos usar o teorema de Fubini pra transformar volume em integral iterada.
Como y aparece em todas as condições, escolhemos y de 0 até ³√π. Para cada y fixo, √x≤y implica x∈[0,y²]. E para cada (x,y), z varia de 0 até sen(y³).

Passo 2

Montamos a integral tripla para o volume:
V=integraly=0^raiz[3]pi integralx=0^y^2 integralz=0^sin(y^3) dz,dx,dy

Passo 3

Primeiro integramos em z, que é simples porque o limite superior não depende de z:
integral0^sin(y^3) dz = sin(y^3)
Em seguida, integramos em x:
integral0^y^2 sin(y^3),dx = y^2sin(y^3)

Passo 4

Agora o volume vira uma integral em y só:
V=integral0^raiz[3]pi y^2sin(y^3),dy
Fazemos a substituição t=y^3, então dt=3y^2dy, ou y^2dy=dt/3, e quando y vai de 0 a ³√π, t vai de 0 a π.

Passo 5

A integral fica
V=13integral0^pisin t,dt = 13[-cos t]0^pi = 13( -(-1) +1 ) = 23

Resposta

dfrac23

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