Determine o comprimento dos caminhos abaixo:
sigma:[0,1] C, sigma(t)=(1-t) z+t omega, onde z, omega in C;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva σ que vai de z a ω em C, definida por
σ(t)=(1-t)z+tω
O conteúdo aqui é comprimento de curva parametrizada no plano complexo, e vamos usar a fórmula
L=integrala^b|σ'(t)|,dt
para curvas σ:[a,b]→C.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de σ. Como σ(t)=z+t(ω−z), temos
σ'(t)=ω−z
que é constante.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do comprimento:
L=integral0^1|σ'(t)|,dt=integral0^1|ω−z|,dt
Como |ω−z| não depende de t, tira-se da integral:
L=|ω−z|integral0^1dt=|ω−z|cdot1

Resposta

O comprimento do caminho é |ω−z|.

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