Calcule:
csc (5-3 i).

Passo 1

O exercício pede para calcular csc(5-3i), ou seja, o recíproco do seno de um número complexo. Vamos usar a definição de seno para um argumento complexo z=x+iy e depois tomar o inverso.

Passo 2

Para qualquer z=x+iy vale a fórmula
sin(x+iy)=sin xcosh y + i,cos xsinh y
Aqui temos x=5 e y=-3. Substituindo:
sin(5-3i)=sin5cosh(-3)+i,cos5sinh(-3)=sin5cosh3 - i,cos5sinh3

Passo 3

Agora csc(5-3i)=1/sin(5-3i). Para inverter um número complexo a+ib usamos
1a+ib=a-iba^2+b^2
Aqui a=sin5cosh3 e b=-cos5sinh3.

Passo 4

Substituindo na fórmula do recíproco e simplificando o sinal de b, obtemos
csc(5-3i)=sin5cosh3 + i,cos5sinh3(sin5cosh3)^2 + (cos5sinh3)^2

Resposta

csc(5-3i)=sin5cosh3 + i,cos5sinh3sin^2 5,cosh^2 3 + cos^2 5,sinh^2 3

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