Calcule:
1+tan (pi12)1-tan (pi12).

Passo 1

Vamos calcular o valor de 1+tan(pi12)1-tan(pi12). O conteúdo aqui é identidades trigonométricas e valores exatos de tangente em ângulos especiais; vamos usar fórmula de semiângulo e simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, encontramos tanl(tfracpi12r). Usando a fórmula do semiângulo
tanl(tfracx2r)=1-cos xsin x
com x=tfracpi6, sabemos que cos(tfracpi6)=tfracraiz32 e sin(tfracpi6)=tfrac12. Então
Agora substituímos esses valores:

Passo 3

Substituindo tan(tfracpi12)=2-raiz3 na expressão, temos:
1+(2-raiz3)1-(2-raiz3)=3-raiz3raiz3-1
Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz3+1:
(3-raiz3)(raiz3+1)(raiz3-1)(raiz3+1)=2raiz32=raiz3

Passo 4

Portanto, o valor da expressão é raiz3.

Resposta

raiz3

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