Calcule
Escolha uma opção:
◯ a. 3-7i
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Escolha uma opção:
◯ a. 3-7i
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
e escolher a alternativa correta entre as opções dadas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os termos que aparecem são potências de
(a unidade imaginária) multiplicadas por coeficientes reais.
Passo 2
Primeiro, vou lembrar o que é
e as potências básicas de
. A definição é simples:
. A partir disso obtemos as potências seguintes fazendo multiplicações sucessivas:
,
,
,
.
Perceba que depois de a sequência se repete porque
. Portanto as potências de
são periódicas de período
.
Perceba que depois de
Passo 3
Para calcular
com
grande, usamos essa periodicidade: basta achar o resto da divisão de
por
(ou seja,
) e usar a potência correspondente entre
.
Exemplos:
Exemplos:
- Se o resto for
, então . - Se o resto for
, então . - Se o resto for
, então . - Se o resto for
, então .
Passo 4
Agora aplico isso aos expoentes que aparecem na expressão:
- Para
, já sabemos que . - Para
: calcule o resto de dividido por . Como , o resto é , então . - Para
: calcule o resto de dividido por . Como , o resto é , então .
Passo 5
Substituindo esses resultados na expressão original:
tornase
Passo 6
Agora faço as multiplicações e agrupo as partes reais e imaginárias separadamente:
- Parte real:
e . Somando: . - Parte imaginária:
.
Portanto a soma é
.
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a
é a letra
.
Resposta
e.