Calcule 4 i^{2}+2 i-3 i^{12}+i^{21}
Escolha uma opção:
◯ a. 3-7i
◯ b. -7-3 i
◯ c. 3+7 i
◯ d. 7+3 i
◯ e. -7+3 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,4 i^{2}+2 i-3 i^{12}+i^{21}\, e escolher a alternativa correta entre as opções dadas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os termos que aparecem são potências de i (a unidade imaginária) multiplicadas por coeficientes reais.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar o que é i e as potências básicas de i. A definição é simples: \,i^{2}=-1\,. A partir disso obtemos as potências seguintes fazendo multiplicações sucessivas:
\,i^{1}=i\,,
\,i^{2}=-1\,,
\,i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i\,,
\,i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot(-1)=1\,.
Perceba que depois de \,i^{4}\, a sequência se repete porque \,i^{4}=1\,. Portanto as potências de i são periódicas de período 4.

Passo 3

Para calcular \,i^{n}\, com n grande, usamos essa periodicidade: basta achar o resto da divisão de n por 4 (ou seja, n \bmod 4) e usar a potência correspondente entre \,i^{1},i^{2},i^{3},i^{4}.
Exemplos:
  • Se o resto for 0, então \,i^{n}=i^{4k}=1\,.
  • Se o resto for 1, então \,i^{n}=i\,.
  • Se o resto for 2, então \,i^{n}=-1\,.
  • Se o resto for 3, então \,i^{n}=-i\,.

Passo 4

Agora aplico isso aos expoentes que aparecem na expressão:
  • Para \,i^{2}, já sabemos que \,i^{2}=-1\,.
  • Para \,i^{12}: calcule o resto de \,12 dividido por \,4. Como \,12=4\cdot3+0\,, o resto é 0, então \,i^{12}=1\,.
  • Para \,i^{21}: calcule o resto de \,21 dividido por \,4. Como \,21=4\cdot5+1\,, o resto é 1, então \,i^{21}=i\,.

Passo 5

Substituindo esses resultados na expressão original:
4 i^{2}+2 i-3 i^{12}+i^{21}
tornase
4\cdot(-1)+2\cdot i-3\cdot(1)+1\cdot i.

Passo 6

Agora faço as multiplicações e agrupo as partes reais e imaginárias separadamente:
  • Parte real: 4\cdot(-1) = -4 e -3\cdot 1 = -3. Somando: -4)+(-3)= -7.
  • Parte imaginária: 2\cdot i + 1\cdot i = 2i + i = 3i.
Portanto a soma é -7 + 3i.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a -7 + 3i é a letra e.

Resposta

e. -7+3 i

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