Calcule todos os valores de a \in \mathbb{R} para que \frac{a+i}{2 a-i} seja imaginário puro.
Escolha uma opção:
◯ a. a= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
◯ b. a=\frac{\sqrt{2}}{2}
◯ C. a=-\frac{\sqrt{2}}{2}
◯ d. a=0
◯ e. a= \pm \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de a\in\mathbb{R} tais que a expressão \dfrac{a+i}{2a-i} seja imaginária pura.
Informações dadas: a variável a é um número real; a expressão é um quociente de números complexos; as opções oferecidas são:
\text{(a) } a=\pm\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \text{(b) } a=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \text{\text{(c)} } a=-\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \text{(d) } a=0,\quad \text{(e) } a=\pm\sqrt{2}.

Passo 2

O que significa “imaginária pura”? Uma número complexo z é imaginário puro quando sua parte real é zero, ou seja, se escrevermos z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então z é imaginário puro exatamente quando x=0.
Para analisar \dfrac{a+i}{2a-i} vamos escrever esse quociente numa forma x+iy. A forma mais direta é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador: o conjugado de 2a-i é 2a+i. Isso não altera o valor (desde que o denominador não seja zero), mas nos dá um denominador real, facilitando extrair parte real e imaginária.

Passo 3

Multiplicamos por 2a+i em cima e embaixo:
\frac{a+i}{2a-i}=\frac{(a+i)(2a+i)}{(2a-i)(2a+i)}.
Calculemos o denominador primeiro:
(2a-i)(2a+i)=(2a)^2-i^2=4a^2- (i^2)=4a^2-(-1)=4a^2+1.
Agora o numerador, expandindo termo a termo:
(a+i)(2a+i)=a\cdot 2a + a\cdot i + i\cdot 2a + i\cdot i = 2a^2 + ai + 2ai + i^2.
Como i^2=-1, isso fica
(a+i)(2a+i)=2a^2 + 3ai -1 = (2a^2-1) + 3ai.

Passo 4

Portanto
\frac{a+i}{2a-i}=\frac{(2a^2-1)+3ai}{4a^2+1}.
Separando parte real e imaginária:
\text{Re}\!\left(\frac{a+i}{2a-i}\right)=\frac{2a^2-1}{4a^2+1},\qquad \text{Im}\!\left(\frac{a+i}{2a-i}\right)=\frac{3a}{4a^2+1}.
Para que a fração seja imaginária pura precisamos de \text{Re}\!\left(\dfrac{a+i}{2a-i}\right)=0.

Passo 5

Impondo a condição \dfrac{2a^2-1}{4a^2+1}=0, como o denominador 4a^2+1>0 para todo a\in\mathbb{R}, basta anular o numerador:
2a^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad a^2=\frac{1}{2}.
Daí
a=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.
Verificação rápida: substituindo a^2=\tfrac12 no denominador obtemos 4a^2+1=4\cdot\tfrac12+1=3, e a parte imaginária fica \dfrac{3a}{3}=a. Logo para a=\pm\tfrac{\sqrt{2}}{2} a expressão vale exatamente ai, que é imaginária pura. Não há problema de denominador zerar para a\in\mathbb{R} porque 2a-i\neq 0 quando a é real.

Resposta

a. a=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}

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