Calcule todos os valores de
para que
seja imaginário puro.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores de
tais que a expressão
seja imaginária pura.
Informações dadas: a variável é um número real; a expressão é um quociente de números complexos; as opções oferecidas são:
Informações dadas: a variável
Passo 2
O que significa “imaginária pura”? Uma número complexo
é imaginário puro quando sua parte real é zero, ou seja, se escrevermos
com
, então
é imaginário puro exatamente quando
.
Para analisar vamos escrever esse quociente numa forma
. A forma mais direta é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador: o conjugado de
é
. Isso não altera o valor (desde que o denominador não seja zero), mas nos dá um denominador real, facilitando extrair parte real e imaginária.
Para analisar
Passo 3
Multiplicamos por
em cima e embaixo:
Calculemos o denominador primeiro:
Agora o numerador, expandindo termo a termo:
Como
, isso fica
Passo 4
Portanto
Separando parte real e imaginária:
Para que a fração seja imaginária pura precisamos de
.
Passo 5
Impondo a condição
, como o denominador
para todo
, basta anular o numerador:
Daí
Verificação rápida: substituindo
no denominador obtemos
, e a parte imaginária fica
. Logo para
a expressão vale exatamente
, que é imaginária pura. Não há problema de denominador zerar para
porque
quando
é real.
Resposta
a.