Calcule
(20 pontos) integral0^1 integralraiz3 y^raiz4-y^2 ln (x^2+y^2) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integralraiz3,y^raiz4-y^2lnl(x^2+y^2r),dx,dy
O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, pois a região tem curva x^2+y^2=4 e a integranda depende de x^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta,
e a integranda ln(x^2+y^2) torna-se ln(r^2)=2ln r.

Passo 3

A fronteira x=raiz3,y vira costheta=raiz3,sintheta, isto é theta=pi/6. Como y>=0 e x>=raiz3,y, temos 0<=theta<=pi/6. A curva x^2+y^2=4 r<=2. Verifica-se que y<=1 é automática para thetain[0,pi/6] e r<=2. Logo a região é
0<=theta<=pi6, 0<= r<=2

Passo 4

Escrevendo a integral em polares:
integral0^1!integralraiz3,y^raiz4-y^2ln(x^2+y^2),dx,dy =integral0^pi/6!integral0^22ln r;l(r,dr,dthetar)
Isto é
integral0^pi/6!dtheta;times;2integral0^2rln r,dr

Passo 5

Calculemos integral0^2rln r,dr. Usando integração por partes com u=ln r, dv=r,dr, obtemos
integral rln r,dr =r^22ln r-integralr^22cdot1r,dr =r^22ln r-r^24+C
Avaliada de 0 a 2
l[,2ln2-1r]-0 =2ln2-1

Passo 6

Voltando à integral total:
2integral0^pi/6dtheta;l(2ln2-1r) =2cdotpi6,l(2ln2-1r) =pi3l(2ln2-1r)

Resposta

pi3l(2ln2-1r)

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