Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2 :
(a) F(t)=(3 t^2, e^-t, ln (t^2+1));
(b) raiz[3]t^2 i+cos t^2 j+3 t k;
© F(t)=sin (5 t) i+cos (4 t) j-e^-2 t k.

Passo 1

O exercício pede as derivadas primeira e segunda de funções vetoriais de uma variável real. Vamos usar que, em geral, se F(t)=(f1(t),f2(t),f3(t)), então F'(t)=(f1'(t),f2'(t),f3'(t)) e F''(t)=(f1''(t),f2''(t),f3''(t)). Para calcular as componentes usamos regras usuais: regra do poder, regra do quociente e regra da cadeia.

Passo 2

Para (a), temos F(t)=(3t^2,e^-t,ln(t^2+1)). Aplicando derivada componente a componente:
F'(t)=(6t,,-e^-t,,2tt^2+1)
Para a segunda derivada em (a), derivamos cada componente de F'(t):
- A derivada de 6t é 6.
- A derivada de -e^-t é e^-t.
- Para 2t/(t^2+1) usamos regra do quociente:
l(2tt^2+1r)'=2(t^2+1)-2tcdot2t(t^2+1)^2=2-2t^2(t^2+1)^2=2(1-t^2)(t^2+1)^2

Passo 3

Logo, em (a):
F''(t)=(6,,e^-t,,2(1-t^2)(t^2+1)^2)

Passo 4

Para (b), escrevemos F(t)=(t^2/3,,cos(t^2),,3t).
  • Derivada de t^2/3 pela regra do poder: (2/3)t^-1/3.
  • Derivada de cos(t^2) pela cadeia: -sin(t^2)cdot2t=-2tsin(t^2).
  • Derivada de 3t é 3.
    Então
F'(t)=l(23t^-1/3,,-2tsin(t^2),,3r)

Passo 5

Agora tiramos a segunda derivada em (b):
  • Derivada de (2/3)t^-1/3 é (2/3)(-1/3)t^-4/3=-tfrac29t^-4/3.
  • Derivada de -2tsin(t^2)) é produto:
-2sin(t^2)-2tcdot(cos(t^2)cdot2t)=-2sin(t^2)-4t^2cos(t^2)
- Derivada de 3 é 0.
Portanto
F''(t)=l(-tfrac29t^-4/3,,-2sin(t^2)-4t^2cos(t^2),,0r)

Passo 6

Para ©, temos F(t)=(sin(5t),,cos(4t),,-e^-2t).
  • Derivada de sin(5t) é 5cos(5t).
  • Derivada de cos(4t) é -4sin(4t).
  • Derivada de -e^-2t) é -(-2e^-2t))=2e^-2t.
    Logo
F'(t)=(5cos(5t),,-4sin(4t),,2e^-2t)

Passo 7

Finalmente, a segunda derivada em ©:
  • Derivada de 5cos(5t) é -25sin(5t).
  • Derivada de -4sin(4t)) é -4cos(4t)cdot4=-16cos(4t).
  • Derivada de 2e^-2t é 2(-2e^-2t)=-4e^-2t.
    Então
F''(t)=(-25sin(5t),,-16cos(4t),,-4e^-2t)

Resposta

(a) F'(t)=(6t,,-e^-t,,tfrac2tt^2+1), F''(t)=(6,,e^-t,,tfrac2(1-t^2)(t^2+1)^2)
(b) F'(t)=(tfrac23t^-1/3,,-2tsin(t^2),,3), F''(t)=(-tfrac29t^-4/3,,-2sin(t^2)-4t^2cos(t^2),,0)
© F'(t)=(5cos(5t),,-4sin(4t),,2e^-2t), F''(t)=(-25sin(5t),,-16cos(4t),,-4e^-2t)

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