Calcule
e
:
(a)
;
(b)
;
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
O exercício pede as derivadas primeira e segunda de funções vetoriais de uma variável real. Vamos usar que, em geral, se
, então
e
. Para calcular as componentes usamos regras usuais: regra do poder, regra do quociente e regra da cadeia.
Passo 2
Para (a), temos
. Aplicando derivada componente a componente:
Para a segunda derivada em (a), derivamos cada componente de
- A derivada de
- A derivada de
- Para
Passo 3
Logo, em (a):
Passo 4
Para (b), escrevemos
.
- Derivada de
pela regra do poder: . - Derivada de
pela cadeia: . - Derivada de
é .
Então
Passo 5
Agora tiramos a segunda derivada em (b):
- Derivada de
é . - Derivada de
é produto:
- Derivada de
Portanto
Passo 6
Para ©, temos
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 7
Finalmente, a segunda derivada em ©:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então
Resposta
(a)
(b)
©