Encontre os pontos críticos de f=x^2+4 x y+y^2-6 y+1 e classifique-os.

Passo 1

O problema pede para a gente achar os pontos críticos da função f(x,y)=x^2+4xy+y^2-6y+1 e dizer se são mínimo, máximo ou ponto de sela. Aqui vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificar estes pontos.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais para formar o gradiente e igualar a zero. Temos
partial fpartial x=2x+4y, partial fpartial y=4x+2y-6
Então montamos o sistema
2x+4y=0,4x+2y-6=0
Da primeira equação vem x=-2y. Substituindo na segunda:
4(-2y)+2y-6=0implies -8y+2y-6=0implies -6y=6implies y=-1
Logo x=2. Então o único ponto crítico é (2,-1).

Passo 3

Agora a gente monta a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
$$H= H=fxx & fxyfyx & fyy=2 & 44 & 2 = H.
$$
Para classificar pontos críticos, lembramos:
- Se H for definida positiva em um ponto, é mínimo local.
- Se H for definida negativa, é máximo local.
- Se for indefinida (determinante negativo), é ponto de sela.

Passo 4

A gente calcula o determinante e o traço de H:
det(H)=2cdot2-4cdot4=4-16=-12<0
Como o determinante é negativo, H é indefinida. Isso significa que em (2,-1) a função tem ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (2, −1) e ele é um ponto de sela.

Exercícios relacionados