Encontre os pontos críticos de
e classifique-os.
Passo 1
O problema pede para a gente achar os pontos críticos da função
e dizer se são mínimo, máximo ou ponto de sela. Aqui vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificar estes pontos.
Passo 2
Primeiro a gente calcula as derivadas parciais para formar o gradiente e igualar a zero. Temos
Então montamos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Logo
Passo 3
Agora a gente monta a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
$$H=
=
.
$$
Para classificar pontos críticos, lembramos:
- Se for definida positiva em um ponto, é mínimo local.
- Se for definida negativa, é máximo local.
- Se for indefinida (determinante negativo), é ponto de sela.
Para classificar pontos críticos, lembramos:
- Se
- Se
- Se
Passo 4
A gente calcula o determinante e o traço de
:
Como o determinante é negativo,
Resposta
O único ponto crítico é (2, −1) e ele é um ponto de sela.