Determine as derivadas parciais de z=f(x, y), em que:
f(x, y)=x^3+x^2 y^3-2 y^2 e determine os valores fx(2,1) e fy(2,1).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=x^3 + x^2y^3 - 2y^2 e os valores de fx(2,1) e fy(2,1). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, usando a definição de derivada em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Para calcular fx(x,y) tratamos y como constante e aplicamos a regra do poder e a linearidade das derivadas: derivada de x^3 é 3x^2; de x^2y^3 é 2x y^3 (pois y^3 é constante); e de -2y^2 é 0. Assim obtemos
fx(x,y)=3x^2 + 2x y^3

Passo 3

Para calcular fy(x,y) tratamos x como constante: derivada de x^3 é 0; de x^2y^3 é 3x^2 y^2 (pela regra do poder); e de -2y^2 é -4y. Logo
fy(x,y)=3x^2y^2 - 4y

Passo 4

Agora basta substituir x=2 e y=1 em cada derivada parcial.
Substituindo em fx:
fx(2,1)=3cdot2^2 + 2cdot2cdot1^3 =3cdot4 +4 =12+4 =16
Substituindo em fy:
fy(2,1)=3cdot2^2cdot1^2 -4cdot1 =3cdot4 -4 =12-4 =8

Resposta

As derivadas parciais são
fx(x,y)=3x^2 +2x y^3 e fy(x,y)=3x^2y^2 -4y.
E os valores solicitados são fx(2,1)=16 e fy(2,1)=8.

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