Determine as derivadas parciais de z=f(x, y), em que:
f(x, y)=x y ln (x y)

Passo 1

O exercício pede as derivadas parciais de z=f(x,y)=x y ln(xy). Vamos usar regra do produto para x y e regra da cadeia para ln(xy).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, trato f=x ycdotln(xy) e aplico regra do produto:
partial fpartial x=partial (xy)partial xcdotln(xy)+xycdotpartialpartial x[ln(xy)].
Calculando cada termo:
partial (xy)partial x=y e partialpartial x[ln(xy)]=1xycdot y=1x.
Logo:
partial fpartial x=yln(xy)+xycdot1x=yln(xy)+y=y[ln(xy)+1].

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, processo análogo:
partial fpartial y=partial(xy)partial ycdotln(xy)+xycdotpartialpartial y[ln(xy)].
Aqui partial(xy)partial y=x e partialpartial y[ln(xy)]=1xycdot x=1y.
Então:
partial fpartial y=xln(xy)+xycdot1y=xln(xy)+x=x[ln(xy)+1].

Resposta

partial fpartial x=yl[ln(xy)+1r], partial fpartial y=xl[ln(xy)+1r]

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