Calcule
e
das funções a seguir:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a primeira e a segunda derivada da função $ f(x, y) = 45 + 4.5y - 5x^{2} $ em relação a $ x $. Isso faz parte de cálculo diferencial, onde estudamos como as funções mudam quando variáveis mudam. Vamos precisar saber como derivar termos constantes e termos com $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f $ em relação a $ x $, que é $ \frac{df}{dx} $.
- Constantes: O número 45 é uma constante. A derivada de uma constante é zero.
- Termos com $ y $: O termo $ 4.5y $ também é constante em relação a $ x $ porque $ y $ não depende de $ x $. Então, a derivada desse termo também é zero.
- Termos com $ x $: Agora, temos $ -5x^{2} $. A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $. Então, multiplicando pelo coeficiente -5, temos $ -5 \times 2x = -10x $.
Portanto, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. Ou seja, vamos derivar $ \frac{df}{dx} = -10x $ em relação a $ x $.
- A derivada de $ -10x $ em relação a $ x $ é simplesmente $ -10 $, porque a derivada de $ x $ é 1 e multiplicamos pelo coeficiente -10.
Então, a segunda derivada é:
Resposta
A primeira derivada de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ é $ \frac{df}{dx} = -10x $ e a segunda derivada é $ \frac{d{2}f}{dx{2}} = -10 $.