Calcule d xd x e d yd x :
lx^2-y^2=z x^2+y^2+z^2=74 no ponto P(3,1,8)

Passo 1

Temos o sistema de equações implícitas
x^2 - y^2 = z, x^2 + y^2 + z^2 = 74,
no qual tratamos y e z como funções de x. O objetivo é encontrar dydx e dzdx no ponto P(3,1,8). Vamos usar diferenciação implícita e depois avaliar em P.

Passo 2

Diferenciando a primeira equação em relação a x, usando y=y(x) e z=z(x), obtemos
ddxl(x^2r) - ddxl(y^2r) = ddxl(zr) Longrightarrow 2x - 2y,dydx = dzdx
Chamando y'=dydx e z'=dzdx, temos
z' = 2x - 2y,y'

Passo 3

Agora diferenciamos a segunda equação:
ddxl(x^2r) + ddxl(y^2r) + ddxl(z^2r) = ddx(74) Longrightarrow 2x + 2y,y' + 2z,z' = 0
Dividindo por 2:
x + y,y' + z,z' = 0

Passo 4

Substituímos z' = 2x - 2y,y' na equação acima:
x + y,y' + z,(2x - 2y,y') = 0 ;Longrightarrow; x + y,y' + 2xz - 2y z,y' = 0
Agrupando os termos com y':
(y - 2y z),y' + (x + 2xz) = 0 Longrightarrow y',(y(1 - 2z)) = -x(1 + 2z)
Logo,
dydx = y' = -x,(1 + 2z)y,(1 - 2z)
No ponto P(3,1,8) isso vale
dydx|P = -3,(1 + 2cdot 8)1,(1 - 2cdot 8) = -3cdot171cdot(-15) = 5115 = 175

Passo 5

Finalmente, voltamos em z' = 2x - 2y,y' e avaliamos em P:
dzdx|P = 2cdot 3 - 2cdot 1cdot 175 = 6 - 345 = 30 - 345 = -45

Resposta

dydx|P = 175, dzdx|P = -45

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