Calcule a massa e o centro de gravidade de um sólido cilíndrico x^2+y^2=1 de altura h=2 e raio r=1, com densidade de<a(x, y, z)=z.

Passo 1

O enunciado pede a massa M e o centro de gravidade de um cilindro de raio r=1, altura h=2, definido por
x^2+y^2<=1, 0<= z<=2,
com densidade variável de<a(x,y,z)=z. Para resolver isso vamos usar inte­grais triplas em coordenadas cilíndricas, onde x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

A massa M é dada por
M=integral triplaVde<a(x,y,z),dV =integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^2z,(r,dz,dr,dtheta)

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integralz=0^2z,dz=tfracz^22|0^2=tfrac42=2,
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M =integral0^2piintegral0^12,r,dr,dtheta =2gl(integral0^2pidthetagr)gl(integral0^1r,drgr) =2,(2pi),tfrac12 =2pi

Passo 4

Pela simetria radial do cilindro, as coordenadas horizontais do centro de gravidade são
x=0, y=0
Para a coordenada vertical usamos
z =1Mintegral triplaVz,de<a(x,y,z),dV =1Mintegral triplaVz^2,dV

Passo 5

Calculemos
integral triplaVz^2,dV =integral0^2piintegral0^1integral0^2z^2,r,dz,dr,dtheta
Primeiro,
integral0^2z^2,dz =tfracz^33|0^2 =tfrac83
Depois,
integral triplaVz^2,dV =gl(integral0^2pidthetagr)gl(integral0^1r,drgr),tfrac83 =(2pi),tfrac12,tfrac83 =tfrac8pi3
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z =1M,8pi3 =12pi,8pi3 =43

Resposta

Massa: M=2pi.
Centro de gravidade: l(0,0,tfrac43r).

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