Calcule a massa e o centro de gravidade de um sólido cilíndrico
de altura
e raio
, com densidade
.
Passo 1
O enunciado pede a massa
e o centro de gravidade de um cilindro de raio
, altura
, definido por
com densidade variável
. Para resolver isso vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas, onde
,
,
e
.
Passo 2
A massa
é dada por
Passo 3
Vamos calcular a integral:
logo
Passo 4
Pela simetria radial do cilindro, as coordenadas horizontais do centro de gravidade são
Para a coordenada vertical usamos
Passo 5
Calculemos
Primeiro,
Depois,
Logo
Resposta
Massa:
M=2pi .
Centro de gravidade:l(0,0,tfrac43r) .
Centro de gravidade: