Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
lim x +infty 3 x^3-4 x+24 x^2-2 x+3

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto+infty3x^3-4x+24x^2-2x+3
Este é um caso de limite de razão de polinômios; vamos usar a ideia de comparar os graus e, em seguida, dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador.

Passo 2

Observe que o numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é de grau 2. Em geral, se o grau do numerador excede o do denominador, o quociente tende a infinito (ou menos infinito), dependendo dos coeficientes principais.

Passo 3

Para ver isso de forma mais rigorosa, dividimos numerador e denominador por x^2 (o maior expoente de x no denominador):
3x^3-4x+24x^2-2x+3 =x^2l(3x - tfrac4x + tfrac2x^2r)x^2l(4 - tfrac2x + tfrac3x^2r) =3x - tfrac4x + tfrac2x^24 - tfrac2x + tfrac3x^2

Passo 4

Quando xto+infty, os termos tfrac4x, tfrac2x^2, tfrac2x e tfrac3x^2 tendem a zero. Assim o numerador se comporta como 3xto+infty e o denominador tende a 4. Portanto o quociente cresce sem limite e o limite é +infty.

Resposta

limxto+infty3x^3-4x+24x^2-2x+3=+infty

Exercícios relacionados