Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a quinta potência da matriz:
A = 3 & 2 -4 & -2
Estamos trabalhando com álgebra de matrizes, especificamente com potências de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz a uma potência utilizando a diagonalização, o que simplifica bastante os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores (também chamados de valores próprios) da matriz A . Os autovalores são números que nos ajudam a simplificar a potência da matriz.
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
lambda^2 - lambda + 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 - 82 = 1 pm raiz-72
Aqui vemos que os autovalores são complexos:
lambda = 12 pm raiz72i
Passo 4
Como os autovalores são complexos, a diagonalização fica complicada. Portanto, vamos optar por multiplicar a matriz por ela mesma repetidamente até chegar na quinta potência. Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos A^2 :
A^2 = A times A = 3 & 2 -4 & -2 times 3 & 2 -4 & -2