Calcule:
[cc3 & 2 -4 & -2]^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a quinta potência da matriz:
A = 3 & 2 -4 & -2
Estamos trabalhando com álgebra de matrizes, especificamente com potências de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz a uma potência utilizando a diagonalização, o que simplifica bastante os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores (também chamados de valores próprios) da matriz A . Os autovalores são números que nos ajudam a simplificar a potência da matriz.
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Calculemos A - lambda I :
A - lambda I = 3 - lambda & 2 -4 & -2 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-2 - lambda) - (2)(-4) = 0
Simplificando:
(3 - lambda)(-2 - lambda) + 8 = 0
-6 - 3lambda + 2lambda + lambda^2 + 8 = 0
lambda^2 - lambda + 2 = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
lambda^2 - lambda + 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 - 82 = 1 pm raiz-72
Aqui vemos que os autovalores são complexos:
lambda = 12 pm raiz72i

Passo 4

Como os autovalores são complexos, a diagonalização fica complicada. Portanto, vamos optar por multiplicar a matriz por ela mesma repetidamente até chegar na quinta potência. Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos A^2 :
A^2 = A times A = 3 & 2 -4 & -2 times 3 & 2 -4 & -2
Fazendo a multiplicação:
A^2 = (3)(3) + (2)(-4) & (3)(2) + (2)(-2) (-4)(3) + (-2)(-4) & (-4)(2) + (-2)(-2) = 9 - 8 & 6 - 4 -12 + 8 & -8 + 4 = 1 & 2 -4 & -4

Passo 5

Agora, calculamos A^3 = A^2 times A :
A^3 = 1 & 2 -4 & -4 times 3 & 2 -4 & -2
Multiplicando:
A^3 = (1)(3) + (2)(-4) & (1)(2) + (2)(-2) (-4)(3) + (-4)(-4) & (-4)(2) + (-4)(-2) = 3 - 8 & 2 - 4 -12 + 16 & -8 + 8 = -5 & -2 4 & 0

Passo 6

Em seguida, calculamos A^4 = A^3 times A :
A^4 = -5 & -2 4 & 0 times 3 & 2 -4 & -2
Multiplicando:
A^4 = (-5)(3) + (-2)(-4) & (-5)(2) + (-2)(-2) (4)(3) + (0)(-4) & (4)(2) + (0)(-2) = -15 + 8 & -10 + 4 12 + 0 & 8 + 0 = -7 & -6 12 & 8

Passo 7

Finalmente, calculamos A^5 = A^4 times A :
A^5 = -7 & -6 12 & 8 times 3 & 2 -4 & -2
Multiplicando:
A^5 = (-7)(3) + (-6)(-4) & (-7)(2) + (-6)(-2) (12)(3) + (8)(-4) & (12)(2) + (8)(-2) = -21 + 24 & -14 + 12 36 - 32 & 24 - 16 = 3 & -2 4 & 8

Resposta

A quinta potência da matriz A é:
A^5 = 3 & -2 4 & 8

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