Considere a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x)=A x
onde A é a matriz da transformaçảo linear na base canónica e1, e2, e3 dada por
A=(lll 2 & 0 & 1 1 & 3 & 0 0 & 2 & 4 )
Seja B=b1, b2, b3 uma base de R^3, onde
b1=(l 1 0 1 ), b2=(l 0 1 2 ), b3=(l 1 1 0 )
Seja D=d1, d2, d3 outra base de R^3, onde
d1=(l 1 2 0 ), d2=(l 0 1 1 ), d3=(l 1 0 1 )
Determine a matriz de transformação de T da base B para a base D, denotada por [T]D.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de representação de T:R^3toR^3, inicialmente dada por
T(x) = Ax
na base canónica, mas agora queremos a sua matriz da base de domínio B para a base de imagem D.
Conteúdo: mudança de base em transformações lineares.
O que precisamos fazer:
1. Calcular T(bj)=Abj para j=1,2,3.
2. Escrever cada T(bj) como combinação linear de d1,d2,d3.
3. Esses coeficientes formam as colunas de [T]D.

Passo 2

Calcular Ab1, b1=101:
Ab1 = 2&0&11&3&00&2&4 101 = 2cdot1+0cdot0+1cdot11cdot1+3cdot0+0cdot10cdot1+2cdot0+4cdot1 = 314
Analogamente, para b2=012:
Ab2 = 2&0&11&3&00&2&4 012 = 2310
E para b3=110:
Ab3 = 2&0&11&3&00&2&4 110 = 242

Passo 3

Expressão de
Isso dá o sistema
Resolve-se , .
Logo, a primeira coluna de é .

Passo 4

Expressão de 2310 na base D.
Resolvendo
alpha+gamma=2, 2alpha+beta=3, beta+gamma=10
obtém-se alpha=-tfrac53, beta=tfrac193, gamma=tfrac113.
Assim, a segunda coluna de [T]D é
-tfrac53[4pt]tfrac193[4pt]tfrac113 .]

Passo 5

Expressão de 242 na base D.
Resolvendo
alpha+gamma=2, 2alpha+beta=4, beta+gamma=2
obtém-se alpha=tfrac43, beta=tfrac43, gamma=tfrac23.
A terceira coluna de [T]D é
tfrac43[4pt]tfrac43[4pt]tfrac23 .]

Resposta

[T]D= 0 & -tfrac53 & tfrac43[6pt] 1 & tfrac193 & tfrac43[6pt] 3 & tfrac113 & tfrac23 .]

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