Considere a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x)=A x
onde A é a matriz da transformaçảo linear na base canónica e1, e2, e3 dada por
A=(lll 2 & 0 & 1 1 & 3 & 0 0 & 2 & 4 )
Seja B=b1, b2, b3 uma base de R^3, onde
b1=(l 1 0 1 ), b2=(l 0 1 2 ), b3=(l 1 1 0 )
Seja D=d1, d2, d3 outra base de R^3, onde
d1=(l 1 2 0 ), d2=(l 0 1 1 ), d3=(l 1 0 1 )
Determine a matriz de mudança de base de R^3 da base canónica C para a base B, denotada por PC^B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a matriz de mudança de base do base canónica C para a base B no espaço R^3. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre mudança de base e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar os vetores da base B na base canónica C e organizar esses vetores em colunas para formar a matriz de mudança de base PC^B .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de base. Em R^3, uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço. A matriz de mudança de base PC^B nos permite converter coordenadas de um vetor da base B para a base canónica C .

Passo 3

Para construir PC^B , precisamos colocar os vetores da base B em colunas nessa matriz, expressos na base canónica C . No seu caso, a base B é formada por:
b1 = 1 0 1 , b2 = 0 1 2 , b3 = 1 1 0

Passo 4

Agora, montamos a matriz PC^B colocando cada bi como coluna:
PC^B = | & | & | b1 & b2 & b3 | & | & | = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 2 & 0

Resposta

A matriz de mudança de base de C para B é
PC^B = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 2 & 0

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