Calcule:
[ll1 & 1 0 & 1]^k(k in N)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a potência k de uma matriz específica:
1 & 1 0 & 1 ^k
Estamos lidando com matrizes e operações de potenciação. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e identificar padrões que facilitem o cálculo de potências de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos duas matrizes A e B , o elemento na posição (i, j) da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A com os elementos da coluna j de B .
Vamos multiplicar a matriz por ela mesma para ver o que acontece:
A = 1 & 1 0 & 1
A^2 = A times A = 1 & 1 0 & 1 1 & 1 0 & 1

Passo 3

Agora, vamos calcular A^2 :
A^2 = (1 times 1) + (1 times 0) & (1 times 1) + (1 times 1) (0 times 1) + (1 times 0) & (0 times 1) + (1 times 1) = 1 & 2 0 & 1
Perceba que o elemento (1,2) aumentou de 1 para 2.

Passo 4

Vamos calcular A^3 para identificar um padrão:
A^3 = A^2 times A = 1 & 2 0 & 1 1 & 1 0 & 1
A^3 = (1 times 1) + (2 times 0) & (1 times 1) + (2 times 1) (0 times 1) + (1 times 0) & (0 times 1) + (1 times 1) = 1 & 3 0 & 1
Agora o elemento (1,2) é 3.

Passo 5

Observando os resultados:
A = 1 & 1 0 & 1 , A^2 = 1 & 2 0 & 1 , A^3 = 1 & 3 0 & 1
Parece que cada vez que elevamos a matriz a uma potência k , o elemento (1,2) se torna k . Portanto, para qualquer k in N :
A^k = 1 & k 0 & 1

Resposta

A matriz elevada à potência k é:
1 & k 0 & 1

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