Essa questão deve ser respondida com um número complexo do tipo a+bi onde a e b são reais. Escreva esse número na caixa.

O conjugado do complexo \frac{10}{4-2 i} é:
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede o conjugado do número complexo \dfrac{10}{4-2i}.
Informações dadas:
  • O número complexo é \dfrac{10}{4-2i}.
  • A tarefa é escrever o conjugado desse número na forma a+bi, com a e b reais.

Passo 2

O que é conjugado complexo?
Para um número complexo qualquer a+bi (onde a e b são reais), o conjugado é a-bi.
Como atalho útil: o conjugado de uma fração é a fração dos conjugados, isto é,
\overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}},
desde que w\neq 0. Aqui isso quer dizer que
\overline{\left(\dfrac{10}{4-2i}\right)}=\dfrac{10}{4+2i},
mas para apresentar o resultado na forma a+bi é mais direto primeiro escrever \dfrac{10}{4-2i} como a+bi e depois tomar o conjugado.

Passo 3

Vamos escrever \dfrac{10}{4-2i} na forma a+bi. Para isso racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é 4+2i:
\dfrac{10}{4-2i}=\dfrac{10(4+2i)}{(4-2i)(4+2i)}.

Passo 4

Calcular o denominador usando identidade de diferença de quadrados:
(4-2i)(4+2i)=4^{2}-(2i)^{2}=16-4i^{2}=16-4(-1)=16+4=20.

Passo 5

Calcular o numerador e simplificar:
10(4+2i)=40+20i,
portanto
\dfrac{40+20i}{20}=\dfrac{40}{20}+\dfrac{20}{20}i=2+i.
Logo
\dfrac{10}{4-2i}=2+i.

Passo 6

Agora aplicamos a definição de conjugado: o conjugado de 2+i é 2-i. Assim,
\overline{\left(\dfrac{10}{4-2i}\right)}=\overline{(2+i)}=2-i.

Resposta

2-i

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