Calcule d zd t de:
z=3 x yx^2-y^2 com x=t^2 e y=3t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
z=3xyx^2-y^2
quando x e y dependem de t por
;x(t)=t^2 e ;y(t)=3t.
Conteúdo: regra da cadeia para funções de duas variáveis. Vamos precisar de partial z/partial x, partial z/partial y, dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia
dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt
Começamos encontrando partial z/partial x e partial z/partial y por derivação de quociente em
;z(x,y)=dfrac3xyx^2-y^2.

Passo 3

Derivando em relação a x:
partial zpartial x =3y,(x^2-y^2)-(3xy),(2x)(x^2-y^2)^2 =3yx^2-3y^3-6x^2y(x^2-y^2)^2 =-3y,(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2
Em relação a y:
partial zpartial y =3x,(x^2-y^2)-(3xy),(-2y)(x^2-y^2)^2 =3x^3-3xy^2+6xy^2(x^2-y^2)^2 =3x,(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2

Passo 4

As derivadas de x e y em função de t são
;dx/dt=2t e ;dy/dt=3.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia:
dzdt =-3y,(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2cdot(2t) +3x,(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2cdot3 =3(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2l(-2t,y+3xr)

Passo 6

Substituindo x=t^2 e y=3t:
x^2+y^2=t^4+9t^2=t^2(t^2+9), x^2-y^2=t^4-9t^2=t^2(t^2-9)
Logo
3(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2 =3,t^2(t^2+9)l[t^2(t^2-9)r]^2 =3(t^2+9)t^2(t^2-9)^2,
e
-2t,y+3x=-2t,(3t)+3,t^2=-6t^2+3t^2=-3t^2
Multiplicando,
dzdt =3(t^2+9)t^2(t^2-9)^2;(-3t^2) =-9(t^2+9)(t^2-9)^2

Resposta

dzdt=-9l(t^2+9r)(,t^2-9,)^2

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