Exercício 5) Encontre os pontos sobre a curva x y=1,0<x <= 4,0< y <= 10 que estão mais afastados, e os que estão mais próximos da origem. Porque existem tais pontos? (Usar multiplicadores de Lagrange).

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva ,xy=1 com 0<x<=4 e 0<y<=10 que minimizam e que maximizam a distância ao ponto (0,0). O conteúdo é aplicação de multiplicadores de Lagrange para otimizar a função distância (ao quadrado) sujeita à restrição.

Passo 2

Definimos a função objetivo como o quadrado da distância ao ponto (0,0), pois isso preserva os extremos:
f(x,y)=x^2+y^2,
e a restrição imposta pela curva é
g(x,y)=xy-1=0
Pelo método de Lagrange, devemos ter
nabla f(x,y)=lambda,nabla g(x,y)

Passo 3

Calculamos os gradientes:
nabla f=(2x,,2y), nabla g=(y,,x)
A condição nabla f=lambdanabla g dá o sistema
2x=lambda,y, 2y=lambda,x
Dividindo a primeira equação pela segunda (e lembrando x,y>0), obtemos
2x2y=yx ;Longrightarrow; xy=yx ;Longrightarrow; x^2=y^2 ;Longrightarrow; x=y
Substituindo y=x na restrição xy=1 resulta x^2=1, logo x=y=1. Avaliando
f(1,1)=1^2+1^2=2

Passo 4

Verificamos também os pontos em que a curva atinge as fronteiras do domínio dado pela restrição 0<x<=4, 0<y<=10. São dois casos:
  • Em x=4, da restrição xy=1 segue y=tfrac14. Então fl(4,tfrac14r) =4^2+l(tfrac14r)^2 =16+tfrac116 =tfrac25716approx16,06
  • Em y=10, da restrição xy=1 segue x=tfrac110. Então fl(tfrac110,10r) =l(tfrac110r)^2+10^2 =tfrac1100+100 =tfrac10001100=100,01

Passo 5

Comparando os valores de f:
f(1,1)=2, fl(4,tfrac14r)=tfrac25716approx16,06, fl(tfrac110,10r)=tfrac10001100=100,01
O menor valor é 2 em (1,1) e o maior é 100,01 em l(tfrac110,10r). Esses extremos existem porque o pedaço da curva definido por 0<x<=4, 0<y<=10 é um conjunto fechado e limitado (compacto) e a função f é contínua, logo atinge máximo e mínimo segundo o teorema do valor extremo.

Resposta

O ponto mais próximo da origem é (1,1) e o mais afastado é l(tfrac110,10r).

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