Exercício 5) Encontre os pontos sobre a curva
que estão mais afastados, e os que estão mais próximos da origem. Porque existem tais pontos? (Usar multiplicadores de Lagrange).
Passo 1
O enunciado pede os pontos da curva
com
e
que minimizam e que maximizam a distância ao ponto
. O conteúdo é aplicação de multiplicadores de Lagrange para otimizar a função distância (ao quadrado) sujeita à restrição.
Passo 2
Definimos a função objetivo como o quadrado da distância ao ponto
, pois isso preserva os extremos:
e a restrição imposta pela curva é
Pelo método de Lagrange, devemos ter
Passo 3
Calculamos os gradientes:
A condição
dá o sistema
Dividindo a primeira equação pela segunda (e lembrando
), obtemos
Substituindo
na restrição
resulta
, logo
. Avaliando
Passo 4
Verificamos também os pontos em que a curva atinge as fronteiras do domínio dado pela restrição
,
. São dois casos:
- Em
, da restrição segue . Então - Em
, da restrição segue . Então
Passo 5
Comparando os valores de
:
O menor valor é
em
e o maior é
em
. Esses extremos existem porque o pedaço da curva definido por
,
é um conjunto fechado e limitado (compacto) e a função
é contínua, logo atinge máximo e mínimo segundo o teorema do valor extremo.
Resposta
O ponto mais próximo da origem é
e o mais afastado é
.