Calcule
abla f e verifique em cada caso que este vetor é normal as curvas ou superfícies de nível.
(a) f(x, y)=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de f(x,y)=x^2+y^2 e verificar que esse vetor é normal às curvas de nível de f. O conteúdo aqui envolve derivadas parciais para obter nabla f e depois usar a propriedade de que, se (x(t),y(t)) percorre uma curva de nível f(x,y)=constante, então nabla f é ortogonal ao vetor tangente (x'(t),y'(t)).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x, partial fpartial y=2y
Logo, o gradiente é
nabla f(x,y)=l(2x,,2yr)

Passo 3

Se l(x(t),y(t)r) descreve uma curva de nível de f, temos
fl(x(t),y(t)r)=c(constante)
Derivando ambos os lados em relação a t, vem
ddtfl(x(t),y(t)r) =nabla fl(x(t),y(t)r)cdotl(x'(t),y'(t)r) =0
Como o produto escalar com o vetor tangente é zero, concluímos que nabla f é ortogonal à curva de nível.

Resposta

nabla f(x,y) = (2x,,2y),
e esse vetor é normal a cada curva de nível x^2+y^2=c.

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