Exercício 10. (Apostol seção 13.11 exercício 5) De quantas maneiras um baralho de 52 cartas pode ser dividido em quatro pessoas (ou seja, cada um com 13 cartas)?

Passo 1

O enunciado pergunta de quantas maneiras podemos repartir as 52 cartas de um baralho em quatro pessoas, cada uma recebendo 13 cartas. O conteúdo principal é aplicação de combinação e do princípio multiplicativo (ou multinomial) para distribuir objetos indistinguíveis entre recipientes distinguíveis, desconsiderando a ordem dentro de cada mão.

Passo 2

Usando o princípio multiplicativo, primeiro escolhemos as 13 cartas que irão para a pessoa A em
binom5213
formas. Em seguida, das 52-13=39 cartas restantes escolhemos as 13 da pessoa B em
binom3913
formas; depois, das 39-13=26 restantes escolhemos as 13 da pessoa C em
binom2613
formas; e, por fim, a pessoa D fica automaticamente com as últimas 13 cartas em
binom1313=1
forma.

Passo 3

Pelo princípio multiplicativo, o total de repartições é
binom5213,binom3913,binom2613,binom1313
e, sabendo que
binomnk=n!k!(n-k)!,
vemos que
binom5213,binom3913,binom2613,binom1313 =52!13!39!,39!13!26!,26!13!13!,13!13!0! =52!(13!)^4

Resposta

52!(13!)^4

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