Calcule a aceleração no ponto x=9 m e y=3 m para o campo de velocidade descrito abaixo.
V=(3 y+2) imath+(x-8) jmath
Solução: ax=3 m / s^2 e ay=11 m / s^2

Passo 1

Beleza, a questão dá um campo de velocidade em duas dimensões
vec V(x,y) = (3y + 2),vecimath + (x - 8),vecjmath
e pede a aceleração no ponto vec a = Dvec VDt = partial vec Vpartial t + (vec Vcdotnabla),vec V, , .
O assunto aqui é cinemática de fluidos ou partículas, mais especificamente o conceito de derivada material (aceleração) de um campo de velocidade.
Para resolver, a gente vai usar a fórmula da aceleração material
mas como não tem dependência de tempo explícita, . Então sobra só o termo convectivo .

Passo 2

Escreve o operador nabla e o produto escalar com nabla = vecimath,partialpartial x + vecjmath,partialpartial y, vec Vcdotnabla = Vx,partialpartial x + Vy,partialpartial y :
vec a = (Vx,partialx + Vy,partialy)l[Vx,vecimath + Vy,vecjmathr]
Logo a aceleração é

Passo 3

Separamos componentes. Para ax = Vxpartial Vxpartial x + Vypartial Vxpartial y :
ay = Vxpartial Vypartial x + Vypartial Vypartial y
E para :

Passo 4

Calcula as derivadas parciais do campo:
Vx = 3y+2, partial Vxpartial x=0, partial Vxpartial y=3;
Vy = x-8, partial Vypartial x=1, partial Vypartial y=0

Passo 5

Agora monta ax = Vxcdot 0 + Vycdot 3 = 3,Vy, ay = Vxcdot 1 + Vycdot 0 = Vx e Vx(9,3)=3cdot3+2=11, Vy(9,3)=9-8=1 :
Falta só avaliar em , :

Resposta

ax = 3 times 1 = 3 m/s^2, ay = 11 m/s^2

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