Um estudo prospectivo para a avaliação do potencial de geração de energia eólica numa região mapeou, em um ensaio inicial, o campo de deslocamentos das partículas em suspensão no ar no plano horizontal xy, concluindo que este poderia ser descrito (durante os 30 min de ensaio) por equações do tipo:
x=x0+U0 t y=y0+V0D y0 t
Onde x e y representam a posição em metros de uma partícula genérica em suspensão segundo um sistema de coordenadas arbitrário definido no estudo; x0 e y0 representam a posição inicial da partícula; t é o tempo decorrido em segundos; e U0 e V0D são constantes dadas em m/s e (m/s)/m, respectivamente, que descrevem o campo de deslocamentos.
A fim de avaliar o campo de velocidade do vento o engenheiro responsável derivou o campo de deslocamentos, obtendo:
u=d xd t=U0 v=d yd t=V0D cdot y1+V0D t
A calibração do modelo forneceu U0=10 m / s e V0D=0,015(m / s) / m.
A partir dos dados apresentados:
Obtenha a relação entre x e y que representa as linhas de corrente do escoamento no instante t =0 s.

Passo 1

Tranquilo! O enunciado diz que a gente tem um campo de deslocamentos que, ao derivar, virou um campo de velocidades
u = U0,, v = V0D,y1+tfracV0D,t,
Eles calibraram e deram
U0 = 10 m/s, V0D=0,015 m/sm,
O que a gente quer é a linha de corrente no instante dydx = vu, . Isso é um conteúdo de mecânica dos fluidos sobre “streamlines” (linhas de corrente), que a gente obtém resolvendo uma EDO:
Para isso, vamos precisar:
  1. Avaliar e em .
  2. Montar a EDO .
  3. Resolver por separação de variáveis e integrar.

Passo 2

Em u = U0 = 10,, v = V0D,y1+0 = 0,015,y, temos:
dydx ;=; vu ;=;0,015,y10 ;=;0,0015,y,
Então a EDO das linhas de corrente fica

Passo 3

Agora a gente separa variáveis:
dyy = 0,0015,dx,
Essa é uma EDO bem tranquila de primeira ordem e variável separável.

Passo 4

Integramos dos dois lados:
integral 1y,dy = integral 0,0015,dx Longrightarrow ln|y| = 0,0015,x + C,,
onde y = e^C,e^0,0015,xequiv A,e^0,0015,x,, A>0, é a constante de integração. Exponenciando:

Resposta

A equação geral das linhas de corrente, no instante boxedy = A ,e^0,0015,x,, , é
onde é uma constante que depende da posição inicial da linha de corrente.

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