Um estudo prospectivo para a avaliação do potencial de geração de energia eólica numa região mapeou, em um ensaio inicial, o campo de deslocamentos das partículas em suspensão no ar no plano horizontal xy, concluindo que este poderia ser descrito (durante os 30 min de ensaio) por equações do tipo:
Onde
e
representam a posição em metros de uma partícula genérica em suspensão segundo um sistema de coordenadas arbitrário definido no estudo;
e
representam a posição inicial da partícula;
é o tempo decorrido em segundos; e
e
são constantes dadas em m/s e (m/s)/m, respectivamente, que descrevem o campo de deslocamentos.
A fim de avaliar o campo de velocidade do vento o engenheiro responsável derivou o campo de deslocamentos, obtendo:
A calibração do modelo forneceu
.
A partir dos dados apresentados:
Obtenha a relação entre x e y que representa as linhas de corrente do escoamento no instante t
.
A fim de avaliar o campo de velocidade do vento o engenheiro responsável derivou o campo de deslocamentos, obtendo:
A partir dos dados apresentados:
Obtenha a relação entre x e y que representa as linhas de corrente do escoamento no instante t
Passo 1
Tranquilo! O enunciado diz que a gente tem um campo de deslocamentos que, ao derivar, virou um campo de velocidades
Eles calibraram e deram
O que a gente quer é a linha de corrente no instante
. Isso é um conteúdo de mecânica dos fluidos sobre “streamlines” (linhas de corrente), que a gente obtém resolvendo uma EDO:
Para isso, vamos precisar:
- Avaliar
e em . - Montar a EDO
. - Resolver por separação de variáveis e integrar.
Passo 2
Em
temos:
Então a EDO das linhas de corrente fica
Passo 3
Agora a gente separa variáveis:
Essa é uma EDO bem tranquila de primeira ordem e variável separável.
Passo 4
Integramos dos dois lados:
onde
é a constante de integração. Exponenciando:
Resposta
A equação geral das linhas de corrente, no instante
, é
onde
é uma constante que depende da posição inicial da linha de corrente.