Calcule (como achar melhor):
integral1^2 integral0^pi y cdot cos (x y) d y d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral1^2integral0^pi ycos(xy),dy,dx. O conteúdo principal envolve cálculo de integrais duplas e a troca de ordem de integração (Teorema de Fubini).

Passo 2

Como a região de integração é retangular em x e y (com 1<= x<=2 e 0<= y<=pi), podemos aplicar o Teorema de Fubini e trocar a ordem de integração. Então definimos
I=integral1^2integral0^piycos(xy),dy,dx = integral0^piintegral1^2ycos(xy),dx,dy

Passo 3

Vamos calcular primeiro a integral interna em x:
integral1^2ycos(xy),dx
Para isso, usamos que
integralcos(xy),dx = sin(xy)y
Multiplicando por y e avaliando de x=1 a x=2, obtemos
ycdot sin(xy)y|1^2 = sin(2y) - sin(y)
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I = integral0^pil(sin(2y)-sin(y)r),dy

Passo 4

Agora é só integrar em y:
integral0^pisin(2y),dy = l[-cos(2y)2r]0^pi = 0,
integral0^pisin(y),dy = [-cos(y)]0^pi = 2
Subtraindo, temos
I = 0 - 2 = -2

Resposta

-2

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