Calcule
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
,
,
e
. O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas usando coordenadas polares. Vamos precisar transformar tudo pra coordenadas polares e entender bem os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que limitam a região
. As equações
e
representam círculos com raios 1 e 2, respectivamente, no primeiro quadrante. As retas
e
são linhas que passam pela origem com inclinações diferentes.
Passo 3
Como estamos trabalhando com círculos e retas que passam pela origem, é uma boa ideia usar coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
E o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 4
Vamos reescrever a função que vamos integrar e as curvas em coordenadas polares. A função
se transforma em:
Então, nossa integral agora é:
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para
, ele varia entre os raios dos dois círculos, ou seja, de 1 a 2. Para
, precisamos encontrar os ângulos correspondentes às retas
e
.
Passo 6
Vamos achar os ângulos
para as retas:
- Para
, temos , então . - Para
, temos , então .
Passo 7
Então, os limites de
vão de
a
e os limites de
vão de 1 a 2. Nossa integral agora fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Passo 9
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 10
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Então, temos:
Resposta
O valor da integral é
.