Calcule
integral duplaD x^2+y^2 d A, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas x^2+y^2=1, x^2+y^2=4, y=x e y=raiz33 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD x^2+y^2 , dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas x^2+y^2=1, x^2+y^2=4, y=x e y=raiz33 x. O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas usando coordenadas polares. Vamos precisar transformar tudo pra coordenadas polares e entender bem os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que limitam a região D. As equações x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 representam círculos com raios 1 e 2, respectivamente, no primeiro quadrante. As retas y=x e y=raiz33x são linhas que passam pela origem com inclinações diferentes.

Passo 3

Como estamos trabalhando com círculos e retas que passam pela origem, é uma boa ideia usar coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta.

Passo 4

Vamos reescrever a função que vamos integrar e as curvas em coordenadas polares. A função x^2+y^2 se transforma em:
r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2
Então, nossa integral agora é:
integral duplaD r^2 cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^3 , dr , dtheta

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para r, ele varia entre os raios dos dois círculos, ou seja, de 1 a 2. Para theta, precisamos encontrar os ângulos correspondentes às retas y=x e y=raiz33x.

Passo 6

Vamos achar os ângulos theta para as retas:
  • Para y = x, temos tan theta = 1, então theta = pi4.
  • Para y = raiz33x, temos tan theta = raiz33, então theta = pi6.

Passo 7

Então, os limites de theta vão de pi6 a pi4 e os limites de r vão de 1 a 2. Nossa integral agora fica:
integraltheta=pi6^pi4 integralr=1^2 r^3 , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a r primeiro:
integral1^2 r^3 , dr = [ r^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154

Passo 9

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralpi6^pi4 154 , dtheta = 154 [ theta ]pi6^pi4 = 154 ( pi4 - pi6 )

Passo 10

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
pi4 - pi6 = 3pi12 - 2pi12 = pi12
Então, temos:
154 cdot pi12 = 15pi48 = 5pi16

Resposta

O valor da integral é 5pi16.

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