Suponha que uma função
satisfaça à propriedade
Sabendo que
e
, o valor de
é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) $ que segue a regra $ f(x \cdot y) = f(x) + f(y) $. Além disso, sabemos que $ f(7) = 2 $ e $ f(17) = 3 $. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de $ f(2023) $. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como essa propriedade da função funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a propriedade dada: $ f(x \cdot y) = f(x) + f(y) $. Isso é parecido com a propriedade dos logaritmos, onde $ \log(x \cdot y) = \log(x) + \log(y) $. Então, podemos pensar que essa função $ f $ está agindo de maneira similar a um logaritmo.
Passo 3
Agora, precisamos expressar 2023 em termos de 7 e 17, já que sabemos os valores de $ f(7) $ e $ f(17) $. Vamos fatorar 2023:
E 289 é igual a $ 17 \times 17 $, ou seja, $ 17^2 $. Então,
Passo 4
Usando a propriedade da função, podemos escrever:
Mas ainda temos $ f(17^2) $ para calcular. Vamos aplicar a propriedade novamente:
Passo 5
Substituindo de volta na equação anterior:
Sabemos que $ f(7) = 2 $ e $ f(17) = 3 $, então:
Resposta
$ f(2023) = 8 $