Suponha que uma função f(x) satisfaça à propriedade
f(x cdot y)=f(x)+f(y)
Sabendo que f(7)=2 e f(17)=3, o valor de f(2023) é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) $ que segue a regra $ f(x \cdot y) = f(x) + f(y) $. Além disso, sabemos que $ f(7) = 2 $ e $ f(17) = 3 $. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de $ f(2023) $. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como essa propriedade da função funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a propriedade dada: $ f(x \cdot y) = f(x) + f(y) $. Isso é parecido com a propriedade dos logaritmos, onde $ \log(x \cdot y) = \log(x) + \log(y) $. Então, podemos pensar que essa função $ f $ está agindo de maneira similar a um logaritmo.

Passo 3

Agora, precisamos expressar 2023 em termos de 7 e 17, já que sabemos os valores de $ f(7) $ e $ f(17) $. Vamos fatorar 2023:
f(7)
E 289 é igual a $ 17 \times 17 $, ou seja, $ 17^2 $. Então,
f(17)

Passo 4

Usando a propriedade da função, podemos escrever:
f(2023) = f(7 times 17^2) = f(7) + f(17^2)
Mas ainda temos $ f(17^2) $ para calcular. Vamos aplicar a propriedade novamente:
f(17^2)

Passo 5

Substituindo de volta na equação anterior:
f(2023) = f(7) + 2f(17)
Sabemos que $ f(7) = 2 $ e $ f(17) = 3 $, então:
f(7) = 2

Resposta

$ f(2023) = 8 $

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