Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função f(x, y)=ln (x^2-2 y)raiz[3]5 x y ?
Escolha uma opção:
a. (x, y) in R^2 mid x^2-2 y>0,5 x y>0
b. R^2
c. (x, y) in R^2 mid x^2-2 y neq 1,5 x y>0
d. (x, y) in R^2 mid x^2-2 y neq 1
e. (x, y) in R^2 mid x^2-2 y neq 0,5 x y neq 0
f. (x, y) in R^2 mid x^2-2 y>0,5 x y neq 0
g. (x, y) in R^2 mid x^2-2 y neq 0, x>0, y>0
h. (x, y) in R^2 mid 5 x y>0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa encontrar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{\ln \left(x^{2}-2 y\right)}{\sqrt[3]{5 x y}} $. Isso significa que temos que descobrir para quais valores de $ x $ e $ y $ essa função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender duas coisas principais:
  1. Logaritmo natural ($ \ln $): O argumento dentro do logaritmo tem que ser maior que zero.
  2. Raiz cúbica: A raiz cúbica está definida para todos os números reais, mas como está no denominador, o que está dentro dela não pode ser zero (pois dividir por zero não existe).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o logaritmo natural: $ \ln(x^{2} - 2y) $. Para que isso faça sentido matematicamente, o que está dentro do logaritmo deve ser positivo. Ou seja:
ln(x^2 - 2y)
Isso nos dá a primeira condição para o domínio.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: $ \sqrt[3]{5xy} $. A raiz cúbica de qualquer número real está definida, mas como está no denominador da fração, não pode ser zero. Então, precisamos que:
raiz[3]5xy
Isso significa que nem $ x $ nem $ y $ podem ser zero ao mesmo tempo.

Passo 4

Então, juntando as duas condições que encontramos:
  1. $ x^{2} - 2y > 0 $
  2. $ 5xy \neq 0 $
Isso define o domínio da função $ f(x, y) $.

Passo 5

Agora, vamos verificar qual das alternativas dadas corresponde a essas condições:
  • A opção f diz:
(x, y) in R^2 mid x^2-2 y > 0, 5 x y neq 0
Isso corresponde exatamente às condições que encontramos!

Resposta

A alternativa correta é a f:
(x, y) in R^2 mid x^2-2 y > 0, , 5 x y neq 0

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