Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa encontrar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{\ln \left(x^{2}-2 y\right)}{\sqrt[3]{5 x y}} $. Isso significa que temos que descobrir para quais valores de $ x $ e $ y $ essa função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender duas coisas principais:
- Logaritmo natural ($ \ln $): O argumento dentro do logaritmo tem que ser maior que zero.
- Raiz cúbica: A raiz cúbica está definida para todos os números reais, mas como está no denominador, o que está dentro dela não pode ser zero (pois dividir por zero não existe).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o logaritmo natural: $ \ln(x^{2} - 2y) $. Para que isso faça sentido matematicamente, o que está dentro do logaritmo deve ser positivo. Ou seja:
Isso nos dá a primeira condição para o domínio.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador: $ \sqrt[3]{5xy} $. A raiz cúbica de qualquer número real está definida, mas como está no denominador da fração, não pode ser zero. Então, precisamos que:
Isso significa que nem $ x $ nem $ y $ podem ser zero ao mesmo tempo.
Passo 4
Então, juntando as duas condições que encontramos:
- $ x^{2} - 2y > 0 $
- $ 5xy \neq 0 $
Isso define o domínio da função $ f(x, y) $.
Passo 5
Agora, vamos verificar qual das alternativas dadas corresponde a essas condições:
- A opção f diz:
Isso corresponde exatamente às condições que encontramos!
Resposta
A alternativa correta é a f: