Calcule o acréscimo de tensões sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado pela sobrecarga concentrada de 15000 kN na superfície do terreno, com:
0,5 metros de afastamento lateral.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o acréscimo de tensões sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado por uma sobrecarga concentrada na superfície. Dados fornecidos:
  • carga concentrada na superfície: P=15000\\ \text{kN}.
  • profundidade do plano horizontal: z=3\\ \text{m}.
  • afastamento lateral (distância horizontal entre a carga e o ponto onde se quer a tensão): r=0,5\\ \text{m}.

Passo 2

Escolha do método (breve justificativa): como a carga é concentrada (ponto na superfície) e queremos o incremento de tensão vertical a uma profundidade e afastamento dados, o método padrão usado em mecânica dos solos/elasticidade é a solução de Boussinesq para carga pontual sobre um semiespaço elástico. É a fórmula mais direta e prática para esse caso e evita procedimentos mais complexos. Vou aplicar essa fórmula.

Passo 3

Apresentação da fórmula e explicação das variáveis. A expressão de Boussinesq para o incremento da tensão vertical \Delta\sigma_z no ponto localizado a profundidade z e a distância horizontal r de uma carga pontual P aplicada na superfície é
\Delta\sigma_z = \frac{3P}{2\pi}\,\frac{z^3}{\bigl(r^2+z^2\bigr)^{5/2}}.
O que cada símbolo significa:
  • P é a carga concentrada (aqui em \text{kN});
  • z é a profundidade vertical onde se avalia a tensão (em \text{m});
  • r é a distância horizontal (em \text{m});
  • \Delta\sigma_z fica em \text{kN}/\text{m}^2, que é equivalente a \text{kPa}.
Observação sobre unidades: ao usar P em \text{kN} e distâncias em \text{m}, o resultado sai em \text{kN}/\text{m}^2 (ou \text{kPa}). Não é necessário converter P para \text{N} se quisermos o resultado em \text{kPa}.

Passo 4

Substituição dos valores na fórmula e cálculo passo a passo.
Calcular primeiro r^2+z^2:
r^2+z^2 = (0,5)^2 + (3)^2 = 0,25 + 9 = 9,25.
Calcular (r^2+z^2)^{5/2}. Usei a identidade (a)^{5/2}=a^2\sqrt{a}:
(r^2+z^2)^{5/2} = 9,25^{5/2} = 9,25^2\sqrt{9,25} = 85,5625\cdot\sqrt{9,25}.
Aproximando \sqrt{9,25}\approx 3,041409, obtemos
(r^2+z^2)^{5/2}\approx 85,5625\cdot 3,041409 \approx 260,231.
Calcular z^3:
z^3 = 3^3 = 27.
Calcular o fator \dfrac{3P}{2\pi}:
\frac{3P}{2\pi}=\frac{3\cdot 15000}{2\pi}=\frac{45000}{2\pi}=\frac{22500}{\pi}\approx 7161,972.
Agora a razão \dfrac{z^3}{(r^2+z^2)^{5/2}}:
\frac{z^3}{(r^2+z^2)^{5/2}}=\frac{27}{260,231}\approx 0,10372.
Finalmente, multiplicando:
\Delta\sigma_z \approx 7161,972\cdot 0,10372 \approx 742,84\\ \text{kN}/\text{m}^2.

Passo 5

Interpretação e arredondamento: o incremento de tensão vertical a 3\\ \text{m} de profundidade, a 0,5\\ \text{m} lateralmente da carga pontual de 15000\\ \text{kN}, é aproximadamente 742,84\\ \text{kPa}. Isso significa que naquele ponto a tensão vertical aumentou cerca de 743\\ \text{kPa} devido à sobrecarga concentrada. Força um pouco grande? É normal: a carga é muito elevada e o ponto está bem próximo lateralmente (apenas 0,5 m).

Resposta

\Delta\sigma_z \approx 742,84\\ \text{kPa}

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