Calcule algebricamente, lim x 4 sen(2-raizx)x-4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto4 sin(2-raizx)x-4
Aqui o conteúdo é limites de funções que resultam numa forma indeterminada do tipo tfrac00. Para resolver vamos usar uma mudança de variável que simplifica a expressão ou, em alternativa, a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituição direta:
quando xto4, temos raizxto2 e 2-raizxto0, logo
sen(2-raizx)tosen(0)=0 e x-4to0.
Isso dá a forma indeterminada tfrac00, então precisamos de outro método.

Passo 3

Fazemos a troca de variável
t = 2 - raizx,
de modo que quando xto4 temos tto0. Agora expressamos x em função de t:
raizx = 2 - t Longrightarrow x = (2 - t)^2 = 4 - 4t + t^2
Assim
x - 4 = -4t + t^2

Passo 4

Reescrevendo o limite em termos de t, obtemos
limxto4 sen(2-raizx)x-4 = limtto0 sen(t)-4t + t^2 = limtto0 sen(t)t,1-4 + t
Sabemos que limtto0sen(t)t=1 e limtto0(-4 + t)=-4. Logo
limxto4 sen(2-raizx)x-4 =1 cdot 1-4 =-tfrac14

Resposta

-,14

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