Em quais intervalos as funções abaixo são contínuas?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pergunta em quais intervalos ela é contínua. O conteúdo principal aqui é análise de domínio de radiciação de índice par e continuidade de funções elementares (polinômios e radicais). Para resolver, vamos (1) encontrar o domínio de
garantindo que o radicando seja não-negativo e (2) usar que polinômios são contínuos em
e que a função raiz quarta é contínua em seu domínio.
Passo 2
Determinar o domínio de
. Como é raiz de índice par, exigimos
Resolvendo essa desigualdade, temos
Logo, o domínio de definição é
Passo 3
Mostrar que
é contínua em todo ponto de
. Repare que podemos escrever
onde
e
. Sabemos que:
-
é um polinômio e, portanto, contínuo em . -
é contínua em .
Como a composição de funções contínuas é contínua no domínio em que faz sentido,é contínua em qualquer tal que , ou seja, em todo .
Passo 4
Verificar continuidade em
. Para isso, calculamos o limite pela direita:
Como
, o limite coincide com o valor da função. Logo
é contínua também em
.
Resposta
A função
é contínua em