Em quais intervalos as funções abaixo são contínuas?
f(x)=raiz[4]3 x-1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=raiz[4]3x-1
e pergunta em quais intervalos ela é contínua. O conteúdo principal aqui é análise de domínio de radiciação de índice par e continuidade de funções elementares (polinômios e radicais). Para resolver, vamos (1) encontrar o domínio de f garantindo que o radicando seja não-negativo e (2) usar que polinômios são contínuos em R e que a função raiz quarta é contínua em seu domínio.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como é raiz de índice par, exigimos
3x-1 >= 0
Resolvendo essa desigualdade, temos
3x >= 1 Longrightarrow x >= tfrac13
Logo, o domínio de definição é
D = l[tfrac13,inftyr)

Passo 3

Mostrar que f é contínua em todo ponto de D. Repare que podemos escrever
f(x) ;=; gl(h(x)r),
onde h(x)=3x-1 e g(t)=raiz[4]t. Sabemos que:
  • h(x)=3x-1 é um polinômio e, portanto, contínuo em R.
  • g(t)=raiz[4]t é contínua em [0,infty).
    Como a composição de funções contínuas é contínua no domínio em que faz sentido, f é contínua em qualquer x tal que 3x-1>=0, ou seja, em todo l(tfrac13,inftyr).

Passo 4

Verificar continuidade em x=tfrac13. Para isso, calculamos o limite pela direita:
limxto(tfrac13)^+f(x) =limxto(tfrac13)^+raiz[4]3x-1 =raiz[4]3cdottfrac13-1 =raiz[4]0 =0
Como f(tfrac13)=raiz[4]0=0, o limite coincide com o valor da função. Logo f é contínua também em x=tfrac13.

Resposta

A função f(x)=raiz[4]3x-1 é contínua em
l[tfrac13,,inftyr)

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