Mostre que f(x)=raiz[3]8 xpi+pi cos (x)x+pi-sen(x)-54 possui pelo menos uma raiz no intervalo (0, pi).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=raiz[3]8xpi+picos(x)x+pi-sen(x)-54
possui pelo menos uma raiz em (0,pi). O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua em um intervalo fechado tem sinais opostos nos extremos, então ela se anula em algum ponto interno. Vamos então (i) verificar a continuidade de f em [0,pi], (ii) calcular f(0) e f(pi) e (iii) aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Cada termo de f é contínuo em [0,pi]:
  • raiz[3]tfrac8xpi é contínuo para x>=0.
  • tfracpicos(x)x+pi é quociente de funções contínuas com denominador x+pi>=pi>0.
  • sen(x) e a constante tfrac54 são contínuas.
    Logo f é contínua em [0,pi].

Passo 3

Calculamos o valor de f em x=0:
f(0)=raiz[3]0+picos(0)0+pi-sen(0)-54 =0+1-0-54 =-14,<0

Passo 4

Calculamos o valor de f em x=pi:
f(pi) =raiz[3]8pipi +picos(pi)pi+pi -sen(pi) -54 =2-12-0-54 =14;>0

Passo 5

Temos f(0)=-tfrac14<0 e f(pi)=tfrac14>0. Como f é contínua em [0,pi], o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de cin(0,pi) tal que
f(c)=0

Resposta

A função f possui pelo menos uma raiz no intervalo (0,pi).

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