Mostre que
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
possui pelo menos uma raiz em
. O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua em um intervalo fechado tem sinais opostos nos extremos, então ela se anula em algum ponto interno. Vamos então (i) verificar a continuidade de
em
, (ii) calcular
e
e (iii) aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Cada termo de
é contínuo em
:
-
é contínuo para . -
é quociente de funções contínuas com denominador . -
e a constante são contínuas.
Logoé contínua em .
Passo 3
Calculamos o valor de
em
:
Passo 4
Calculamos o valor de
em
:
Passo 5
Temos
e
. Como
é contínua em
, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de
tal que
Resposta
A função
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.