Calcule algebricamente, os seguintes Limites:
lim x 0(1-4 x)^e / x

Passo 1

O enunciado pede o limite
L = limx to 0(1-4x)^e/x
O conteúdo envolve limites de forma a(x)^b(x) quando a base tende a 1 e o expoente é indefinido. Para resolver, vamos usar a propriedade
limxto 0a(x)^b(x) = expl(limxto 0b(x)ln(a(x))r)

Passo 2

Definimos
L = limx to 0(1-4x)^e/x = expl(limx to 0exln(1-4x)r)
Agora falta calcular o limite interior
limx to 0exln(1-4x).

Passo 3

Para ln(1-4x) usamos a expansão em série (ou o limite clássico):
ln(1-4x) = -4x + o(x)(xto0),
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ln(1-4x)x ;longrightarrow;-4
Multiplicando por e,
limxto0exln(1-4x) = ecdot(-4) = -4e

Passo 4

Substituindo na expressão de L:
L = expl(-4er)

Resposta

e^-4e

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