Determinar a integral curvilínea do campo vetorial vecF, ao longo da curva C dada.
Calcule integralC P d x+Q d y+R d z, onde
F=(P, Q, R)=(y z, x z, x y) e C dada por alpha(t)=(cos t, sen t, t), 0 <= t <= pi4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral curvilínea de um campo vetorial vec F=(P,Q,R) ao longo da curva C parametrizada por
alpha(t)=(cos t,;sin t,;t), 0<= t<=pi4,
sendo P=y,z, Q=x,z e R=x,y. Vamos usar a definição
integralC P,dx+Q,dy+R,dz =integralt=0^pi/4l[P(alpha(t)),x'(t)+Q(alpha(t)),y'(t)+R(alpha(t)),z'(t)r],dt

Passo 2

Calcular o vetor velocidade alpha'(t).
Como alpha(t)=(cos t,sin t,t), temos
alpha'(t)=l(-sin t,;cos t,;1r)
Logo dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt e dz=dt.

Passo 3

Substituir x=cos t, y=sin t, z=t em P,Q,R e montar o integrando:
P(alpha(t))=y,z=sin tcdot t=tsin t, Q(alpha(t))=x,z=cos tcdot t=tcos t, R(alpha(t))=x,y=cos tsin t
Portanto
P,dx=tsin tcdot(-sin t,dt)=-tsin^2t,dt,
Q,dy=tcos tcdot(cos t,dt)=tcos^2t,dt,
R,dz=cos tsin t;dt
Somando,
P,dx+Q,dy+R,dz =l(-tsin^2t + tcos^2t +cos tsin tr),dt

Passo 4

Simplificar o integrando usando identidades trigonométricas.
Como cos^2t-sin^2t=cos2t e cos tsin t=tfrac12sin2t, segue
-tsin^2t + tcos^2t +cos tsin t = tcos2t + 12sin2t
Assim a integral vira
integral0^pi/4!l(tcos2t + tfrac12sin2tr),dt

Passo 5

Calcular a primitiva por partes de integral tcos2t,dt e integrar tfrac12sin2t.
Para integral tcos2t,dt, tome u=t, dv=cos2t,dt. Então du=dt, v=tfrac12sin2t, resultando em
integral tcos2t,dt =tsin2t2 - integral 12sin2t,dt =tsin2t2 + cos2t4
Somando integral tfrac12sin2t,dt=-tfraccos2t4, a contribuição em cos2t se cancela, sobrando
integrall(tcos2t+tfrac12sin2tr)dt =tsin2t2+C

Passo 6

Avaliar de 0 a pi/4:
[tsin2t2]0^pi/4 =tfracpi4,sin(pi/2)2-0 =pi4cdot12 =pi8

Resposta

boxedpi8

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