(a) Calcule alpha>0 onde, D e r, R é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios 0, onde alpha.
(b) Para que valores de r 0^+ a integral do item (a) possui limite quando alpha>0?
© Calcule D, onde r, R e 0 é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios alpha com r 0^+.
(d) Para que valores de R infty a integral em © tem limite quando r.
(e) Refaça os itens (b) e (d) para o caso de alpha e r 0^+ constante.
(f) Conclua que não existe valor de R infty tal que as integrais dos itens (a) e © existam quando integralr^R 1x^alpha d xe simultaneamente.
(g) Compare com o análogo ao caso em uma dimensão, i.e, com o caso da integral .

Passo 1

O exercício pede para calcular integrais de funções radiais singulares em regiões anelares (2D) e cascas esféricas (3D), além de estudar para quais valores de α elas convergem quando o raio interno r tende a zero e/o o raio externo R tende ao infinito. Vamos usar coordenadas polares em 2D e esféricas em 3D.

Passo 2

Para o item (a), usamos coordenadas polares: x=ρ cosθ, y=ρ sinθ, dA=ρ dρ dθ e x²+y²=ρ². A integral fica integral duplaD 1(x^2+y^2)^alpha/2dA=integral0^2piintegralr^R 1(rho^2)^alpha/2,rho,drho,dtheta=2piintegralr^Rrho^1-alphadrho Para α≠2 obtemos
2piR^2-alpha-r^2-alpha2-alpha, e para α=2
2pilnRr

Passo 3

No item (b), analisamos r→0⁺ na expressão de (a): se α<2 então r^{2-α}→0 e a integral tende a 2πR^{2-α}/(2-α), finita. Se α=2 a expressão é 2πln(R/r)→+∞, e se α>2 então r^{2-α}→+∞. Logo a integral converge quando α<2.

Passo 4

Para o item ©, usamos coordenadas esféricas: x²+y²+z²=ρ², dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ. Assim
integral triplaD 1(x^2+y^2+z^2)^alpha/2dV=integral0^2piintegral0^piintegralr^Rrho^-alpha,rho^2sinφ,dρ,dφ,dθ=4piintegralr^Rrho^2-alphadρ Para α≠3
4piR^3-alpha-r^3-alpha3-alpha, e para α=3
4pilnRr

Passo 5

No item (d), avaliando r→0⁺ em ©: se α<3 então r^{3-α}→0 e a integral tende a 4πR^{3-α}/(3-α), finita. Se α≥3 diverge (log em α=3 ou potência em α>3). Converge só para α<3.

Passo 6

No item (e), fazemos R→∞ com r fixo. Em 2D (item a) o termo dominante é R^{2-α}/(2-α), que tende a 0 (logo integral finita) somente se α>2 (em α=2 diverge log e em α<2 diverge por potência). Em 3D (item c) o termo dominante é R^{3-α}/(3-α), finito só se α>3.

Passo 7

No item (f), para convergência simultânea em r→0⁺ e R→∞ precisaríamos α<2 e α>2 ao mesmo tempo em 2D (impossível) e α<3 e α>3 em 3D (impossível). Portanto não existe α que faça a integral convergir para ambos os limites simultaneamente.

Passo 8

No item (g), na 1D temos integralr^R x^-alphadx=dfracR^1-alpha-r^1-alpha1-alpha,&alphaneq1,lndfracRr,&alpha=1 Esse integral converge perto de zero só se α<1 e em infinito só se α>1, mostrando o mesmo impasse de não existir α que satisfaça as duas condições ao mesmo tempo.

Resposta

(a) Para α≠2 2piR^2-alpha-r^2-alpha2-alpha, e para α=2 2pilnRr
(b) Converge como r→0⁺ ⇔ α<2.
© Para α≠3 4piR^3-alpha-r^3-alpha3-alpha, e para α=3 4pilnRr
(d) Converge como r→0⁺ ⇔ α<3.
(e) Em 2D converge como R→∞ ⇔ α>2; em 3D converge ⇔ α>3.
(f) Não existe α que faça convergir simultaneamente para r→0⁺ e R→∞.
(g) Em 1D integralr^R x^-alphadx=R^1-alpha-r^1-alpha1-alpha,(alphaneq1) converge em zero só se α<1 e em infinito só se α>1, apresentando o mesmo conflito.

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