O exercício pede para calcular integrais de funções radiais singulares em regiões anelares (2D) e cascas esféricas (3D), além de estudar para quais valores de α elas convergem quando o raio interno r tende a zero e/o o raio externo R tende ao infinito. Vamos usar coordenadas polares em 2D e esféricas em 3D.
Passo 2
Para o item (a), usamos coordenadas polares: x=ρ cosθ, y=ρ sinθ, dA=ρ dρ dθ e x²+y²=ρ². A integral fica Para α≠2 obtemos
e para α=2
Passo 3
No item (b), analisamos r→0⁺ na expressão de (a): se α<2 então r^{2-α}→0 e a integral tende a 2πR^{2-α}/(2-α), finita. Se α=2 a expressão é 2πln(R/r)→+∞, e se α>2 então r^{2-α}→+∞. Logo a integral converge quando α<2.
No item (e), fazemos R→∞ com r fixo. Em 2D (item a) o termo dominante é R^{2-α}/(2-α), que tende a 0 (logo integral finita) somente se α>2 (em α=2 diverge log e em α<2 diverge por potência). Em 3D (item c) o termo dominante é R^{3-α}/(3-α), finito só se α>3.
Passo 7
No item (f), para convergência simultânea em r→0⁺ e R→∞ precisaríamos α<2 e α>2 ao mesmo tempo em 2D (impossível) e α<3 e α>3 em 3D (impossível). Portanto não existe α que faça a integral convergir para ambos os limites simultaneamente.
Passo 8
No item (g), na 1D temos Esse integral converge perto de zero só se α<1 e em infinito só se α>1, mostrando o mesmo impasse de não existir α que satisfaça as duas condições ao mesmo tempo.
(d) Converge como r→0⁺ ⇔ α<3.
(e) Em 2D converge como R→∞ ⇔ α>2; em 3D converge ⇔ α>3.
(f) Não existe α que faça convergir simultaneamente para r→0⁺ e R→∞.
(g) Em 1D integralr^R x^-alphadx=R^1-alpha-r^1-alpha1-alpha,(alphaneq1) converge em zero só se α<1 e em infinito só se α>1, apresentando o mesmo conflito.