Escreva as outras CINCO integrais possíveis que sejam iguais à integral dada
(a)
.
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Temos a integral dada em (a).
O domínio de integração é D = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | 0 ≤ z ≤ y ≤ x ≤ 1 }.
O domínio de integração é D = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | 0 ≤ z ≤ y ≤ x ≤ 1 }.
Passo 2
Para obter as diferentes ordens, usamos as desigualdades 0≤z≤y≤x≤1 e projetamos D nas faces apropriadas.
Passo 3
Ordem dx
dy
dz: z vai de 0 a 1, y de z a 1, x de y a 1.
dy
dz: z vai de 0 a 1, y de z a 1, x de y a 1.
Passo 4
Ordem dx
dz
dy: y vai de 0 a 1, z de 0 a y, x de y a 1.
dz
dy: y vai de 0 a 1, z de 0 a y, x de y a 1.
Passo 5
Ordem dz
dy
dx: x vai de 0 a 1, y de 0 a x, z de 0 a y.
dy
dx: x vai de 0 a 1, y de 0 a x, z de 0 a y.
Passo 6
Ordem dy
dz
dx: x vai de 0 a 1, z de 0 a x, y de z a x.
dz
dx: x vai de 0 a 1, z de 0 a x, y de z a x.
Passo 7
Ordem dy
dx
dz: z vai de 0 a 1, x de z a 1, y de z a x.
dx
dz: z vai de 0 a 1, x de z a 1, y de z a x.
Resposta
As cinco integrais equivalentes à dada em (a) são: