Escreva as outras CINCO integrais possíveis que sejam iguais à integral dada
(a) integral0^1 integraly^1 integral0^y f(x, y, z) d z d x d y.
(b) integral0^1 integraly^1 integral0^z f(x, y, z) d z d y d x

Passo 1

Temos a integral dada em (a).
O domínio de integração é D = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | 0 ≤ z ≤ y ≤ x ≤ 1 }.

Passo 2

Para obter as diferentes ordens, usamos as desigualdades 0≤z≤y≤x≤1 e projetamos D nas faces apropriadas.

Passo 3

Ordem dx
dy
dz: z vai de 0 a 1, y de z a 1, x de y a 1.

Passo 4

Ordem dx
dz
dy: y vai de 0 a 1, z de 0 a y, x de y a 1.

Passo 5

Ordem dz
dy
dx: x vai de 0 a 1, y de 0 a x, z de 0 a y.

Passo 6

Ordem dy
dz
dx: x vai de 0 a 1, z de 0 a x, y de z a x.

Passo 7

Ordem dy
dx
dz: z vai de 0 a 1, x de z a 1, y de z a x.

Resposta

As cinco integrais equivalentes à dada em (a) são:
integral0^1!integralz^1!integraly^1 f(x,y,z),dx,dy,dz,
integral0^1!integral0^y!integraly^1 f(x,y,z),dx,dz,dy,
integral0^1!integral0^x!integral0^y f(x,y,z),dz,dy,dx,
integral0^1!integral0^x!integralz^x f(x,y,z),dy,dz,dx,
integral0^1!integralz^1!integralz^x f(x,y,z),dy,dx,dz

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