Encontre os pontos críticos das funções abaixo e, usando o teste conveniente(Teste da Primeira ou da Segunda derivada), classifique-os com ponto de Máximo local, Mínimo local ou nenhun dos dois.
f(x)=ln xraizx

Passo 1

O enunciado pede pra achar os pontos críticos de f(x)=ln xraizx, isto é, os valores de x>0 onde f'(x)=0 ou indefinida, e em seguida usar teste da primeira ou segunda derivada pra classificar cada ponto como máximo, mínimo ou nenhum dos dois. Vamos precisar de derivadas de funções do tipo x^a e ln x.

Passo 2

Escrevendo f(x)=x^-1/2ln x, aplicamos a regra do produto para obter f'(x). O resultado é
f'(x)= -tfrac12x^-3/2ln x + x^-1/2cdottfrac1x = x^-3/2l(1-tfracln x2r)

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. Como x^-3/2 nunca é zero em x>0, basta
1-tfracln x2=0Longrightarrow ln x=2Longrightarrow x=e^2

Passo 4

Agora classificamos x=e^2. Calculamos a segunda derivada. Derivando f'(x)=x^-3/2(1-tfracln x2) obtemos
f''(x)=x^-5/2l(tfrac34ln x-2r)

Passo 5

Avaliaremos f'' em x=e^2: como ln(e^2)=2, temos
f''(e^2)=l(e^2r)^-5/2l(tfrac34cdot2-2r)=e^-5l(tfrac32-2r)= -tfrac12e^-5<0

Passo 6

Como f''(e^2)<0, o ponto x=e^2 é um máximo local.
Podemos também anotar o valor de f(e^2)=ln(e^2)raize^2=2e

Resposta

O único ponto crítico é l(e^2,2/er), que é um máximo local.

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