1. Calcule a amplitude do sinal de saída de um cabeçote de leitura de uma fita magnética com frequência de áudio de 1 kHz , tendo os seguintes parâmetros: N=20, \mu_{0} M_{0}=0,05 T, \eta=1, v=0,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, L=1 \mathrm{~mm}, \delta=10 \mu \mathrm{~m} e d=0. O que representa cada um dos parâmetros fornecidos?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a amplitude do sinal de saída do cabeçote (tensão induzida) e dizer o que representa cada parâmetro fornecido. Valores dados:
\,N=20, \,\mu_{0}M_{0}=0,05\\ \mathrm{T}, \,\eta=1, \,v=0,1\\ \mathrm{m/s}, \,L=1\\ \mathrm{mm}, \,\delta=10\\ \mu\mathrm{m}, \,d=0, frequência de áudio f=1\\ \mathrm{kHz}.
Significado de cada parâmetro (resumido, pois depois vou usar cada um na fórmula):
  • \,N: número de voltas do enrolamento do cabeçote (quantas espiras contribuem para a f.e.m.).
  • \,\mu_{0}M_{0}: produto da permeabilidade do vácuo \mu_{0} pela magnetização máxima M_{0}; numericamente dado como 0{,}05\\ \mathrm{T} (essa quantidade tem unidades de indução magnética, ou seja, é o campo magnético máximo associado à magnetização do filme).
  • \,\eta: fator de acoplamento (eficiência de acoplamento entre a fita magnetizada e o cabeçote), adimensional; \eta=1 significa acoplamento ideal.
  • \,v: velocidade linear da fita em relação ao cabeçote (em \mathrm{m/s}).
  • \,L: comprimento (no sentido do movimento da fita) do elemento sensível do cabeçote (em \mathrm{m}); aqui 1\\ \mathrm{mm}.
  • \,\delta: dimensão na profundidade efetiva (espessura/altura) que contribui para o fluxo (em \mathrm{m}); aqui 10\\ \mu\mathrm{m}.
  • \,d: folga / gap; aqui d=0 indica contato ideal (sem gap).
  • f: frequência do sinal sobre a fita, 1\\ \mathrm{kHz}.
A resolução numérica e a teoria começam no Passo 2.

Passo 2

Princípio físico usado (a fórmula fundamental): a tensão induzida pelo cabeçote é dada pela Lei de Faraday aplicada ao enrolamento:
e(t) = -\frac{d\Psi}{dt} = -\frac{d}{dt}\bigl(N\Phi(t)\bigr) = -N\frac{d\Phi(t)}{dt},
onde \Phi(t) é o fluxo magnético ligado a uma única volta e \Psi=N\Phi a f.e.m. ligada. Aqui vou trabalhar com amplitudes (valor absoluto da amplitude da f.e.m.). Então a amplitude da tensão é
E_{\text{amp}} = N\omega \,\Phi_{\text{amp}},
onde \omega=2\pi f é a pulsação angular e \Phi_{\text{amp}} é a amplitude do fluxo por volta.
Explicação breve do que é \Phi(t): é a integral da densidade de fluxo magnético B sobre a área sensível do cabeçote. No modelo simplificado que usamos, assume-se que a fita tem magnetização longitudinal senoidal que produz uma distribuição de B proporcional a \mu_{0}M_{0}\cos(kx-\omega t) ao longo da direção do movimento x.

Passo 3

Modelagem da fita magnetizada: para um sinal senoidal de frequência f gravado como variação espacial, adota-se
M(x,t)=M_{0}\cos(kx-\omega t),
com
\omega=2\pi f,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda},
e a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
\lambda=\frac{v}{f}.
A densidade de fluxo local (modelo simplificado) será B(x,t)\approx \mu_{0}M_{0}\cos(kx-\omega t). O cabeçote integra esse B ao longo do seu comprimento L e profundidade efetiva \delta.

Passo 4

Cálculo do fluxo por volta \Phi(t) (integração espacial sobre o comprimento L e profundidade \delta, assumindo unidade de largura ou que a largura efetiva é incorporada em \delta):
\Phi(t)=\eta\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{\delta} B(x,t)\,dy\,dx =\eta\,\delta\int_{0}^{L}\mu_{0}M_{0}\cos(kx-\omega t)\,dx.
Fazendo a integral em x:
\int_{0}^{L}\cos(kx-\omega t)\,dx=\frac{2\sin\!\left(\dfrac{kL}{2}\right)}{k}\cos\!\left(\dfrac{kL}{2}-\omega t\right).
Portanto a amplitude do fluxo por volta é
\Phi_{\text{amp}}=\mu_{0}M_{0}\,\eta\,\delta\cdot\frac{2\sin\!\left(\dfrac{kL}{2}\right)}{k}.
Podemos reescrever 2\sin(kL/2)/k como L\cdot\mathrm{sinc}\!\left(\dfrac{kL}{2}\right), onde usamos a definição \mathrm{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}. Assim
\Phi_{\text{amp}}=\mu_{0}M_{0}\,\eta\,L\,\delta\;\mathrm{sinc}\!\left(\frac{kL}{2}\right).

Passo 5

Amplitude da f.e.m. induzida: substituindo em E_{\text{amp}}=N\omega\Phi_{\text{amp}} obtemos
E_{\text{amp}}=N\omega\,\mu_{0}M_{0}\,\eta\,L\,\delta\;\mathrm{sinc}\!\left(\frac{kL}{2}\right).
Essa é a fórmula central: produto de fatores (número de voltas, frequência angular, amplitude de campo magnético efetiva, geometria L\delta, acoplamento) vezes um fator de redução \mathrm{sinc} que descreve cancelamento espacial quando o cabeçote integra várias variações da onda.

Passo 6

Agora calculamos os parâmetros numéricos e o fator \mathrm{sinc}.
  • \omega=2\pi f=2\pi\cdot 1000=2000\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • \lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{0{,}1}{1000}=1{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}=100\\ \mu\mathrm{m}.
  • k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{1\times 10^{-4}}=2\pi\cdot 10^{4}.
  • Calcula-se o argumento do sinc:
\frac{kL}{2}=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{L}{2}=\pi\frac{L}{\lambda}.
Com L=1\\ \mathrm{mm}=1\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} e \lambda=1\times 10^{-4}\\ \mathrm{m} temos
\frac{L}{\lambda}= \frac{1\times 10^{-3}}{1\times 10^{-4}}=10,
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\frac{kL}{2}=\pi\cdot 10 = 10\pi.
Agora o fator sinc:
\mathrm{sinc}\!\left(\frac{kL}{2}\right)=\frac{\sin(10\pi)}{10\pi}=0,
porque \sin(n\pi)=0 para inteiro n. Portanto o fator espacial anula completamente a amplitude do fluxo.

Passo 7

Conclusão matemática: como \mathrm{sinc}\!\left(\dfrac{kL}{2}\right)=0, temos
E_{\text{amp}}=N\omega\,\mu_{0}M_{0}\,\eta\,L\,\delta\;\times 0 = 0.
Interpretação física (importante para a prova e para o teu entendimento): o cabeçote integra o campo magnético sobre seu comprimento L. Se o comprimento do cabeçote contém exatamente um número inteiro de meias-ondas da magnetização (aqui L/\lambda=10), as contribuições positivas e negativas se cancelam perfeitamente e a tensão induzida idealizada é zero. Na prática, imperfeições, folga, largura finita, não-idealidades, ruído e não-senoidalidade dão um sinal pequeno, mas no modelo ideal a amplitude é nula.

Resposta

E_{\text{amp}}=0\\ \mathrm{V}\n
N: número de espiras do enrolamento; \mu_{0}M_{0}: produto da permeabilidade do vácuo pela magnetização máxima (dado como 0{,}05\\ \mathrm{T}); \eta: fator de acoplamento (adiensional); \,v: velocidade da fita ( 0{,}1\\ \mathrm{m/s}); \,L: comprimento sensível do cabeçote ( 1\\ \mathrm{mm}); \,\delta: profundidade/espessura efetiva ( 10\\ \mu\mathrm{m}); \,d: gap (aqui 0, contato ideal); f: frequência do sinal ( 1\\ \mathrm{kHz}).

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