Calcule o ângulo entre as direções [ 00 l 1 ] e [ lll1 & 1 & 1 ] em um cristal cúbico.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as direções cristalográficas [001] e [111] num cristal cúbico. Para isso vamos tratar cada direção como um vetor em R^3 e usar o produto escalar para obter o ângulo entre eles.

Passo 2

Identificamos os vetores:
v1 = (0,0,1), v2 = (1,1,1)
Lembrando que o produto escalar de v1 e v2 é
v1 cdot v2 = v1xv2x + v1yv2y + v1zv2z

Passo 3

Calculamos o produto escalar e os módulos:
v1 cdot v2 = 0cdot1 + 0cdot1 + 1cdot1 = 1,
| v1| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1, | v2| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 4

O ângulo theta entre os vetores satifaz
costheta = v1 cdot v2| v1|;| v2| = 11cdotraiz3 = 1raiz3
Logo,
theta = arccos!l(tfrac1raiz3r)

Resposta

theta = arccos!l(tfrac1raiz3r)approx 54,7^circ

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