Calcule o ângulo formado pelas direções [110] e [221] em um sistema ortorrômbico cujos parâmetros de rede são: a=0,3 nm, b=0,4 nm e c =0,7 nm.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as direções [110] e [221] numa rede ortorrômbica com parâmetros de malha a=0,3 nm, b=0,4 nm e c=0,7 nm. Para isso, vamos representar cada direção por um vetor em coordenadas cartesianas
v = h, a1 + k, a2 + l, a3
onde a1=(a,0,0), a2=(0,b,0) e a3=(0,0,c). Em seguida aplicamos o produto escalar e a definição de ângulo.

Passo 2

As direções viram vetores
v1 = (1,a,;1,b,;0,c) = (a,;b,;0),
v2 = (2,a,;2,b,;1,c) = (2a,;2b,;c)

Passo 3

O produto escalar é
v1cdot v2 ;=; acdot(2a) ;+; bcdot(2b) ;+; 0cdot c ;=; 2a^2 + 2b^2 ;=; 2,(a^2 + b^2)

Passo 4

As normas valem
| v1| = raiza^2 + b^2 + 0^2 = raiza^2 + b^2,
| v2| = raiz(2a)^2 + (2b)^2 + c^2 = raiz4a^2 + 4b^2 + c^2

Passo 5

Então
costheta = v1cdot v2| v1|;| v2| = 2,(a^2+b^2)raiza^2+b^2,raiz4a^2+4b^2+c^2 = 2,raiza^2+b^2raiz4a^2+4b^2+c^2
Substituindo a=0,3, b=0,4, c=0,7:
a^2+b^2 = 0,3^2 + 0,4^2 = 0,09 + 0,16 = 0,25, 4a^2+4b^2+c^2 = 4cdot0,25 + 0,49 = 1,49,
costheta = 2raiz0,25raiz1,49 = 2cdot0,5raiz1,49 = 11,2207approx0,8192,
theta = arccos(0,8192)approx35^circ

Resposta

O ângulo entre as direções é aproximadamente 35^circ.

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