Defina gráfica e analiticamente os índices de Miller da interseção entre os planos (111) e ( 1 1 0 ) em um cristal cúbico.

Passo 1

O enunciado dá dois planos em um cristal cúbico, definidos pelos índices de Miller (111) e (110), e pede os índices de Miller da reta formada pela interseção desses planos. Em cristalografia cúbica, cada plano é ortogonal ao vetor normal cujas componentes são exatamente os índices de Miller. A reta de interseção é paralela aos dois planos, logo perpendicular a ambos os vetores-normais, e seus índices de Miller são as componentes inteiras mínimas do produto vetorial desses dois normais.

Passo 2

Identificamos os vetores-normais:
n1=(1,,1,,1) que corresponde ao plano (111),
n2=(1,,-1,,0) que corresponde ao plano (110).
Graficamente, a reta de interseção é aquela direção que está em ambos os planos, ou seja, é perpendicular tanto a n1 quanto a n2.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
d ;=;n1timesn2 ;=; i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0
d =;i(1cdot0-1cdot(-1));-;j(1cdot0-1cdot1);+;k(1cdot(-1)-1cdot1)
d = (1),i -(-1),j +(-2),k = (1,,1,,-2)

Passo 4

Para expressar como índices de Miller de direção, escrevemos as componentes mínimas inteiras do vetor d. Assim a reta de interseção tem índices de Miller
[,1;1;2,]

Resposta

Os índices de Miller da direção da interseção entre os planos (111) e (110) são
[,1;1;2,]

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