Calcule o ângulo formado pelos vetores (1,2) e (-1,-1).

Passo 1

Dados: os vetores \mathbf{u}=(1,2) e \mathbf{v}=(-1,-1).
Pedido: calcular o ângulo \theta formado entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 2

Ferramenta principal: produto escalar e sua relação com o cosseno do ângulo entre vetores. Para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} vale a identidade geométrica
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,
onde \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar, |\mathbf{a}| é o comprimento (norma) de \mathbf{a}, |\mathbf{b}| é o comprimento de \mathbf{b} e \theta é o ângulo entre os vetores. Assim podemos isolar
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}.
Explicando sem mistério: o produto escalar combina componentes correspondentes e dá uma medida de quanto os vetores “apontam na mesma direção”; dividindo pelo produto das normas obtemos exatamente o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Pela definição componente a componente:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot(-1)+2\cdot(-1)=-1-2=-3.

Passo 4

Calcular as normas |\mathbf{u}| e |\mathbf{v}|. A norma de (x,y) é \sqrt{x^2+y^2}.
|\mathbf{u}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
|\mathbf{v}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 5

Substituir na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}=\frac{-3}{\sqrt{5}\,\sqrt{2}}=\,-\frac{3}{\sqrt{10}}.
Então o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right).

Passo 6

Obter aproximação numérica para usar na prova (se pedirem grau ou radiano). Primeiro o valor numérico do cosseno:
-\frac{3}{\sqrt{10}}\approx-0{,}948683.
Tirando arccos:
\theta\approx 161{,}565^\circ.
Em radianos:
\theta\approx 161{,}565^\circ\cdot\frac{\pi}{180}\approx 2{,}823\\ \text{rad}.

Passo 7

Checagem alternativa (útil em prova sem calculadora para ver sentido do resultado): ângulo de \mathbf{u} medido a partir do eixo x é \arctan(2)\approx 63{,}435^\circ. O vetor \mathbf{v}=(-1,-1) está no terceiro quadrante, seu ângulo é 45^\circ+180^\circ=225^\circ. Diferença: 225^\circ-63{,}435^\circ=161{,}565^\circ, confirma o resultado. Observação: o ângulo é obtuso (maior que 90^\circ), como o cosseno negativo já indicava. Força aí — você conseguiu!

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)\approx 161{,}565^\circ\approx 2{,}823\\ \text{rad}

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