Calcule o ângulo formado pelos vetores
e
.
Passo 1
Dados: os vetores
e
.
Pedido: calcular o ângulo formado entre
e
.
Pedido: calcular o ângulo
Passo 2
Ferramenta principal: produto escalar e sua relação com o cosseno do ângulo entre vetores. Para dois vetores
e
vale a identidade geométrica
onde
é o produto escalar,
é o comprimento (norma) de
,
é o comprimento de
e
é o ângulo entre os vetores. Assim podemos isolar
Explicando sem mistério: o produto escalar combina componentes correspondentes e dá uma medida de quanto os vetores “apontam na mesma direção”; dividindo pelo produto das normas obtemos exatamente o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Pela definição componente a componente:
Passo 4
Calcular as normas
e
. A norma de
é
.
Passo 5
Substituir na fórmula do cosseno:
Então o ângulo é
Passo 6
Obter aproximação numérica para usar na prova (se pedirem grau ou radiano). Primeiro o valor numérico do cosseno:
Tirando arccos:
Em radianos:
Passo 7
Checagem alternativa (útil em prova sem calculadora para ver sentido do resultado): ângulo de
medido a partir do eixo
é
. O vetor
está no terceiro quadrante, seu ângulo é
. Diferença:
, confirma o resultado. Observação: o ângulo é obtuso (maior que
), como o cosseno negativo já indicava. Força aí — você conseguiu!