Sejam \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right) e \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right) dois vetores do plano. Denotamos por S a área do paralelogramo formado pelos vetores \vec{a} e \vec{b}.
(a) Definimos \vec{u}=\left(-a_{2}, a_{1}\right). Mostre que \|\vec{u}\|=\|\vec{a}\| e \vec{u} \cdot \vec{a}=0.
(b) Mostre que S=\|\vec{a}\|\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})\right\|.
(c) Deduza que S=|\operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b})|, onde
O enunciado dá dois vetores do plano \vec{a}=\left(a_{1},a_{2}\right) e \vec{b}=\left(b_{1},b_{2}\right) e define \vec{u}=\left(-a_{2},a_{1}\right). Denota-se por S a área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}. As perguntas são:
Mostrar que \|\vec{u}\|=\|\vec{a}\| e \vec{u}\cdot\vec{a}=0.
Mostrar que S=\|\vec{a}\|\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})\right\|.
Deduza que S=|\operatorname{det}(\vec{a},\vec{b})|, onde
As informações relevantes são: as coordenadas de \vec{a},\vec{b}, a definição de \vec{u} e que S é a área do paralelogramo gerado por \vec{a} e \vec{b}. A resolução começa a seguir.]
Passo 2
Primeiro, lembro duas definições básicas (aulas rápidas):
Produto interno (produto escalar) no plano: para \vec{v}=(v_1,v_2) e \vec{w}=(w_1,w_2) temos
\vec{v}\cdot\vec{w}=v_1w_1+v_2w_2.
Norma de um vetor: \displaystyle \|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{v_1^2+v_2^2}.
Essas fórmulas são o que vamos usar para mostrar as propriedades pedidas em (a).
Passo 3
Calculemos a norma de \vec{u}=\left(-a_{2},a_{1}\right) usando a definição:
Logo \vec{u} é ortogonal a \vec{a}, ou seja \vec{u}\cdot\vec{a}=0. Com isto concluímos (a).
Passo 5
Para (b) vamos interpretar geometricamente a área do paralelogramo. Lembre que a área S de um paralelogramo com base de comprimento b e altura h é
S=b\cdot h.
Escolhemos como base o segmento na direção de \vec{a}; então o comprimento da base é \|\vec{a}\|. A altura do paralelogramo é a componente de \vec{b} na direção perpendicular a \vec{a}. Como \vec{u} é perpendicular a \vec{a}, a projeção de \vec{b} sobre \vec{u} representa exatamente essa componente perpendicular. Portanto geometricamente
S=\|\vec{a}\|\times\big(\text{módulo da componente de }\vec{b}\text{ perpendicular a }\vec{a}\big) =\|\vec{a}\|\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})\right\|.ó
Passo 6
Agora faço a ligação algébrica explicando a fórmula de projeção. Para vetores \vec{b} e \vec{u} com \vec{u}\neq\vec{0}, a projeção de \vec{b} sobre \vec{u} é