Sejam \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right) e \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right) dois vetores do plano. Denotamos por S a área do paralelogramo formado pelos vetores \vec{a} e \vec{b}.
(a) Definimos \vec{u}=\left(-a_{2}, a_{1}\right). Mostre que \|\vec{u}\|=\|\vec{a}\| e \vec{u} \cdot \vec{a}=0.
(b) Mostre que S=\|\vec{a}\|\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})\right\|.
(c) Deduza que S=|\operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b})|, onde
\operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b})=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|=a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}
é o determinante dos vetores \vec{a} e \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores do plano \vec{a}=\left(a_{1},a_{2}\right) e \vec{b}=\left(b_{1},b_{2}\right) e define \vec{u}=\left(-a_{2},a_{1}\right). Denota-se por S a área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}. As perguntas são:
  1. Mostrar que \|\vec{u}\|=\|\vec{a}\| e \vec{u}\cdot\vec{a}=0.
  2. Mostrar que S=\|\vec{a}\|\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})\right\|.
  3. Deduza que S=|\operatorname{det}(\vec{a},\vec{b})|, onde
\operatorname{det}(\vec{a},\vec{b})=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1}\\[4pt] a_{2} & b_{2} \end{array}\right|=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.
As informações relevantes são: as coordenadas de \vec{a},\vec{b}, a definição de \vec{u} e que S é a área do paralelogramo gerado por \vec{a} e \vec{b}. A resolução começa a seguir.]

Passo 2

Primeiro, lembro duas definições básicas (aulas rápidas):
  • Produto interno (produto escalar) no plano: para \vec{v}=(v_1,v_2) e \vec{w}=(w_1,w_2) temos
\vec{v}\cdot\vec{w}=v_1w_1+v_2w_2.
  • Norma de um vetor: \displaystyle \|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{v_1^2+v_2^2}.
    Essas fórmulas são o que vamos usar para mostrar as propriedades pedidas em (a).

Passo 3

Calculemos a norma de \vec{u}=\left(-a_{2},a_{1}\right) usando a definição:
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-a_{2})^{2}+(a_{1})^{2}}=\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}=\|\vec{a}\|.
Portanto \|\vec{u}\|=\|\vec{a}\|.

Passo 4

Agora calculemos o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{a}:
\vec{u}\cdot\vec{a}=(-a_{2})\cdot a_{1}+a_{1}\cdot a_{2}=-a_{1}a_{2}+a_{1}a_{2}=0.
Logo \vec{u} é ortogonal a \vec{a}, ou seja \vec{u}\cdot\vec{a}=0. Com isto concluímos (a).

Passo 5

Para (b) vamos interpretar geometricamente a área do paralelogramo. Lembre que a área S de um paralelogramo com base de comprimento b e altura h é
S=b\cdot h.
Escolhemos como base o segmento na direção de \vec{a}; então o comprimento da base é \|\vec{a}\|. A altura do paralelogramo é a componente de \vec{b} na direção perpendicular a \vec{a}. Como \vec{u} é perpendicular a \vec{a}, a projeção de \vec{b} sobre \vec{u} representa exatamente essa componente perpendicular. Portanto geometricamente
S=\|\vec{a}\|\times\big(\text{módulo da componente de }\vec{b}\text{ perpendicular a }\vec{a}\big) =\|\vec{a}\|\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})\right\|.ó

Passo 6

Agora faço a ligação algébrica explicando a fórmula de projeção. Para vetores \vec{b} e \vec{u} com \vec{u}\neq\vec{0}, a projeção de \vec{b} sobre \vec{u} é
\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})=\frac{\vec{b}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^{2}}\;\vec{u}.
O módulo dessa projeção (comprimento da componente de \vec{b} na direção de \vec{u}) vale
\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})\right\|=\left|\frac{\vec{b}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^{2}}\right|\;\|\vec{u}\| =\frac{|\vec{b}\cdot\vec{u}|}{\|\vec{u}\|}.
Usando que \|\vec{u}\|=\|\vec{a}\| (Passo 3) obtemos
\|\vec{a}\|\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})\right\| =\|\vec{a}\|\cdot\frac{|\vec{b}\cdot\vec{u}|}{\|\vec{u}\|} =\frac{\|\vec{a}\|}{\|\vec{u}\|}\;|\vec{b}\cdot\vec{u}| =|\vec{b}\cdot\vec{u}|.
Portanto a expressão da área dada no passo anterior é equivalente a S=|\vec{b}\cdot\vec{u}|. Isso confirma (b).

Passo 7

Finalmente, calculemos \vec{b}\cdot\vec{u} em termos das coordenadas. Com \vec{u}=(-a_{2},a_{1}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2}),
\vec{b}\cdot\vec{u}=b_{1}(-a_{2})+b_{2}a_{1}=-a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.
Mas a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} é exatamente o determinante \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b}) fornecido no enunciado. Assim
S=|\vec{b}\cdot\vec{u}|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|=|\operatorname{det}(\vec{a},\vec{b})|.
Com isso obtivemos (c).

Resposta

(a) \|\vec{u}\|=\|\vec{a}\| e \vec{u}\cdot\vec{a}=0.
(b) S=\|\vec{a}\|\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{b})\right\|.
(c) S=|\operatorname{det}(\vec{a},\vec{b})|.

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