Calcule o ângulo em graus de um vertedor triangular cuja carga hidráulica máxima é de 30 cm e opere com uma vazão de 215 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Obs.: \mathrm{Cq}=0,61 Resp.: \theta=80^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede o ângulo do vertedor triangular (notch em V) sabendo que a carga hidráulica máxima é 30\\ \mathrm{cm} e a vazão de operação é 215\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}. Dados fornecidos:
Q=215\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h},\qquad H_{\max}=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m},\qquad C_q=0,61.
A pergunta é: determinar \theta (em graus) do vertedor triangular que, com a carga H_{\max}, permitirá a vazão Q.

Passo 2

Apresentamos a fórmula do vertedor triangular (V-notch) e derivamos-a de forma simples para entender de onde vem cada termo. Defina \alpha=\theta/2 (meio ângulo do V). Considere um elemento horizontal a uma altura z acima do vértice (0 a H). A largura do furo naquele nível é
b(z)=2z\tan\alpha.
A velocidade do escoamento através dessa fita, pela equação de Torricelli, usa a carga acima do nível do elemento, que é H-z, então
v(z)=\sqrt{2g(H-z)}.
O fluxo através da fita elementar é
dQ=C_q\;v(z)\;b(z)\;dz=C_q\cdot 2\tan\alpha\;z\;\sqrt{2g(H-z)}\;dz.
Integrando de z=0 a z=H temos
Q=C_q\cdot 2\tan\alpha\sqrt{2g}\int_{0}^{H} z\sqrt{H-z}\,dz.
Calcule a integral com substituição u=H-z:
\int_{0}^{H} z\sqrt{H-z}\,dz=\int_{0}^{H}(H-u)\sqrt{u}\,du =H\cdot\frac{2}{3}H^{3/2}-\frac{2}{5}H^{5/2}=\frac{4}{15}H^{5/2}.
Substituindo de volta:
Q=C_q\cdot 2\tan\alpha\sqrt{2g}\cdot\frac{4}{15}H^{5/2} = C_q\cdot\frac{8}{15}\tan\alpha\sqrt{2g}\;H^{5/2}.
Portanto a fórmula usada é
Q=C_q\frac{8}{15}\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\sqrt{2g}\;H^{5/2}.
Aqui Q é a vazão (m³/s), C_q é o coeficiente de descarga (adimensional), g é a gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2), H é a carga (m) e \theta é o ângulo do vertedor que queremos.

Passo 3

Convertemos a vazão para unidades SI (m³/s):
Q=\frac{215}{3600}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}=0,059722\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.

Passo 4

Isolamos \tan(\theta/2) na fórmula:
\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{Q}{C_q}\cdot\frac{15}{8}\cdot\frac{1}{\sqrt{2g}\;H^{5/2}}.
Agora calculamos os termos numéricos passo a passo. Primeiro \sqrt{2g}:
\sqrt{2g}=\sqrt{2\cdot 9,81}= \sqrt{19,62}\approx 4,429.
Depois H^{5/2} com H=0,30\\ \mathrm{m}:
H^{5/2}=0,30^{2{,}5}=0,30^{2}\cdot 0,30^{0{,}5}=0,09\cdot\sqrt{0,30}\approx 0,09\cdot 0,547722\approx 0,049295.
Multiplicando \sqrt{2g} por H^{5/2}:
\sqrt{2g}\;H^{5/2}\approx 4,429\cdot 0,049295\approx 0,2184.
Calcule o denominador combinado C_q\cdot\frac{8}{15}\cdot\sqrt{2g}\;H^{5/2}:
C_q\cdot\frac{8}{15}\cdot\sqrt{2g}\;H^{5/2}\approx 0,61\cdot\frac{8}{15}\cdot 0,2184.
\frac{8}{15}\approx 0{,}533333\quad\Rightarrow\quad 0,61\cdot 0{,}533333\cdot 0,2184\approx 0,07095.
Portanto
\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{Q}{0,07095}\approx\frac{0,059722}{0,07095}\approx 0,8415.

Passo 5

Calculamos o ângulo \alpha=\theta/2 a partir da tangente:
\alpha=\arctan(0,8415)\approx 40^\circ
(para comparação, \tan 40^\circ\approx 0{,}8391, muito próximo do valor numérico acima). Assim
\theta=2\alpha\approx 80^\circ.

Resposta

\theta=80^\circ

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