Estime o volume de água ( \mathrm{m}^{3} ) que atravessou o vertedor de uma micro bacia hidrográfica para uma carga hidráulica média de 10 cm , em um vertedor triangular com \theta=30^{\circ} e período de observação igual a 1 ano ( 365 dias). Obtenha o volume médio anual. Use a equação geral e \mathrm{Cd}= 62 \%. Resp.: Vo = 39.138, 03 \mathrm{~m}^{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu estime o volume de água que atravessou um vertedor triangular (em V) durante um período de observação de 1 ano, dadas as seguintes informações:
  • carga hidráulica média (altura sobre a aresta do vertedor): \;H=10\\ \mathrm{cm}.
  • ângulo do V do vertedor: \;\theta=30^\circ.
  • coeficiente de descarga: \;C_d=62\%=0{,}62.
  • período de observação: \;1\\ \text{ano}=365\\ \text{dias}.
O que devo entregar: o volume médio anual de água que passou pelo vertedor, em \mathrm{m}^3.

Passo 2

Qual equação usar? Para um vertedor triangular (vertedor em V, também chamado de “notch” triangular), a equação geral (obtida por integração do escoamento ao longo da largura que varia com a profundidade) é:
Q = \frac{8}{15}\;C_d\;\sqrt{2g}\;\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\;H^{5/2}.
Explicando cada termo:
  • \;Q é a vazão (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
  • \;C_d é o coeficiente de descarga (adimensional), que corrige perdas e aproxima a vazão real da teórica.
  • \;g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m}/\mathrm{s}^2); usaremos \;g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • \;\theta é o ângulo do V do vertedor (em radianos ou graus; ao usar \tan mantemos graus se calcularmos \tan de \theta/2 em graus).
  • \;H é a carga (altura de água acima da aresta) em metros; note o expoente 5/2 que aparece na integração para vertedor triangular.
Breve motivo do expoente 5/2: a forma da seção útil do V faz com que a largura do escoamento aumente linearmente com a profundidade, e a velocidade é proporcional à \sqrt{H}; ao integrar área × velocidade ao longo da profundidade obtém-se potência H^{5/2}. Não precisa decorar, mas aqui usamos a fórmula padrão acima.

Passo 3

Vamos converter unidades e calcular constantes necessárias:
  • Converter \;H=10\\ \mathrm{cm} para metros:
H = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • A metade do ângulo para a tangente é \;\theta/2=15^\circ. Usamos:
\tan\!\left(15^\circ\right)=0{,}2679491924311227\\ (\text{valor tabelado / calculadora}).
  • Aceleração da gravidade:
g = 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Coeficiente:
C_d = 0{,}62.

Passo 4

Calcular o fator constante que multiplica H^{5/2}. Defino
A = \frac{8}{15}\;C_d\;\sqrt{2g}\;\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Agora calculo cada parte:
  1. \dfrac{8}{15} = 0{,}5333333333.
  2. Multiplicando por C_d:
\frac{8}{15}\;C_d = 0{,}5333333333\times 0{,}62 = 0{,}3306666667.
  1. \sqrt{2g} = \sqrt{2\cdot 9{,}81} = \sqrt{19{,}62} = 4{,}429446\\ (\text{aprox.}).
  2. Produto até aqui:
0{,}3306666667\times 4{,}429446 \approx 1{,}4641701444.
  1. Multiplico pela \tan(15^\circ):
A \approx 1{,}4641701444\times 0{,}2679491924311227 \approx 0{,}3923232078.
Portanto:
A \approx 0{,}3923232078\\ \left(\mathrm{\frac{m^{-\tfrac{5}{2}}}{s}}\right)\\ \text{(unidade implícita para que \(A H^{5/2}\) dê \(\mathrm{m}^3/\mathrm{s}\))}.íê

Passo 5

Calcular H^{5/2}. Como H=0{,}10\\ \mathrm{m}:
H^{5/2} = (0{,}10)^{5/2} = (10^{-1})^{5/2} = 10^{-5/2} = 0{,}0031622776601683794.
Agora a vazão média correspondente a essa carga:
Q = A\,H^{5/2} \approx 0{,}3923232078 \times 0{,}0031622776601683794 \approx 0{,}00124063486\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Interpretação: com carga média de \;0{,}10\\ \mathrm{m} o vertedor libera cerca de \;1{,}2406\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 6

Converter o período de observação (1 ano) para segundos e calcular o volume anual:
  • Tempo total em segundos:
T = 365\\ \text{dias}\times 24\\ \frac{\text{h}}{\text{dia}}\times 3600\\ \frac{\text{s}}{\text{h}} = 31\,536\,000\\ \mathrm{s}.
  • Volume total no ano:
V = Q\times T \approx 0{,}00124063486\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\times 31\,536\,000\\ \mathrm{s}.
Calculo numérico:
V \approx 39\,138{,}03\\ \mathrm{m}^3.

Passo 7

Verificação rápida de ordem de grandeza: \;Q\approx 1{,}24\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} corresponde a \sim 1{,}24\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}. Em um ano ( \sim 3{,}15\times 10^7\\ \mathrm{s}) isso dá \sim 3{,}9\times 10^4\\ \mathrm{m}^3, que bate com o cálculo anterior — logo o resultado é consistente.

Resposta

V_o = 39\,138{,}03\\ \mathrm{m}^3

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