Estime o volume de água ( \mathrm{m}^{3} ) que atravessou o vertedor de uma micro bacia hidrográfica para uma carga hidráulica média de 10 cm , em um vertedor triangular com \theta=30^{\circ} e período de observação igual a 1 ano ( 365 dias). Obtenha o volume médio anual. Use a equação geral e \mathrm{Cd}= 62 \%. Resp.: Vo = 39.138, 03 \mathrm{~m}^{3}
Passo 1
O enunciado pede que eu estime o volume de água que atravessou um vertedor triangular (em V) durante um período de observação de 1 ano, dadas as seguintes informações:
carga hidráulica média (altura sobre a aresta do vertedor): \;H=10\\ \mathrm{cm}.
ângulo do V do vertedor: \;\theta=30^\circ.
coeficiente de descarga: \;C_d=62\%=0{,}62.
período de observação: \;1\\ \text{ano}=365\\ \text{dias}.
O que devo entregar: o volume médio anual de água que passou pelo vertedor, em \mathrm{m}^3.
Passo 2
Qual equação usar? Para um vertedor triangular (vertedor em V, também chamado de “notch” triangular), a equação geral (obtida por integração do escoamento ao longo da largura que varia com a profundidade) é:
\;C_d é o coeficiente de descarga (adimensional), que corrige perdas e aproxima a vazão real da teórica.
\;g é a aceleração da gravidade (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2); usaremos \;g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
\;\theta é o ângulo do V do vertedor (em radianos ou graus; ao usar \tan mantemos graus se calcularmos \tan de \theta/2 em graus).
\;H é a carga (altura de água acima da aresta) em metros; note o expoente 5/2 que aparece na integração para vertedor triangular.
Breve motivo do expoente 5/2: a forma da seção útil do V faz com que a largura do escoamento aumente linearmente com a profundidade, e a velocidade é proporcional à \sqrt{H}; ao integrar área × velocidade ao longo da profundidade obtém-se potência H^{5/2}. Não precisa decorar, mas aqui usamos a fórmula padrão acima.
Passo 3
Vamos converter unidades e calcular constantes necessárias:
Converter \;H=10\\ \mathrm{cm} para metros:
H = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
A metade do ângulo para a tangente é \;\theta/2=15^\circ. Usamos:
A \approx 1{,}4641701444\times 0{,}2679491924311227 \approx 0{,}3923232078.
Portanto:
A \approx 0{,}3923232078\\ \left(\mathrm{\frac{m^{-\tfrac{5}{2}}}{s}}\right)\\ \text{(unidade implícita para que \(A H^{5/2}\) dê \(\mathrm{m}^3/\mathrm{s}\))}.
V = Q\times T \approx 0{,}00124063486\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\times 31\,536\,000\\ \mathrm{s}.
Calculo numérico:
V \approx 39\,138{,}03\\ \mathrm{m}^3.
Passo 7
Verificação rápida de ordem de grandeza: \;Q\approx 1{,}24\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} corresponde a \sim 1{,}24\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}. Em um ano (\sim 3{,}15\times 10^7\\ \mathrm{s}) isso dá \sim 3{,}9\times 10^4\\ \mathrm{m}^3, que bate com o cálculo anterior — logo o resultado é consistente.