Calcule o ângulo entre a reta que passa por A=(1,2,1) e B=(2,1,3), e o plano que contém os pontos C=(0,1,0), D=(1,2,1), E= (2,3,-1)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta que passa por A=(1,2,1) e B=(2,1,3) e o plano que contém C=(0,1,0), D=(1,2,1) e E=(2,3,-1).
Conteúdo: geometria analítica no espaço. Vamos usar vetores, produto vetorial para achar a normal do plano e a definição do ângulo entre reta e plano.

Passo 2

Primeiro achamos o vetor diretor da reta AB subtraindo A de B:
v = AB = B - A = (2-1,;1-2,;3-1) = (1,,-1,;2)

Passo 3

Em seguida escolhemos dois vetores que estejam no plano CDE, por exemplo
u = CD = D - C = (1-0,;2-1,;1-0) = (1,1,1),
w = CE = E - C = (2-0,;3-1,;-1-0) = (2,2,-1)

Passo 4

Calculamos o vetor normal ao plano por produto vetorial:
n = u times w = i & j & k [6pt] 1 & 1 & 1 [3pt] 2 & 2 & -1 = (-3,;3,;0)

Passo 5

O ângulo phi entre o vetor diretor v da reta e a normal n do plano satisfaz
cosphi = |vcdotn||v|,|n| = |(1)(-3)+(-1)(3)+(2)(0)|raiz1^2+(-1)^2+2^2,raiz(-3)^2+3^2+0^2 = 6raiz6,3raiz2 = 1raiz3

Passo 6

O ângulo theta entre a reta e o plano é o complemento de phi, ou seja
theta = 90^circ - phi Longrightarrow sintheta = cosphi = 1raiz3 Longrightarrow theta = arcsin!l(tfrac1raiz3r)approx 35,26^circ

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é
theta = arcsin!l(1raiz3r)approx 35,26^circ

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